[논문 리뷰] Long time dynamics near the symmetry breaking bifurcation for nonlinear Schrödinger/Gross-Pitaevskii Equations

Jeremy L. Marzuola, Michael I. Weinstein|ArXiv.org|2009. 12. 09.

Nonlinear Photonic Systems참고 문헌 30인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 대칭성 붕괴 분기점 근처에서 비선형 슈뢰딩거/그로스-피타에프스키 방정식에 대해 대칭성 있는 双우물 퍼텐셜을 가진 경우의 장시간 역학을 조사한다. 유한 차원 해밀토니안 축소를 유도하고, 그 위상공간을 분석하며, 해밀토니안 시스템의 해와 완전한 PDE 해 사이의 유사성을 보여주는 샤로잉 정리(Shadowing theorem)를 증명한다. 이 정리는 두 우물 사이를 오가는 질량 운반을 하는 해가 매우 긴, 그러나 유한한 시간 스케일 동안 지속됨을 보여준다. 이후 방사성 모드와의 공진 결합으로 인해 동역학이 결국 붕괴됨을 시사한다.

ABSTRACT

We consider a class nonlinear Schrödinger / Gross-Pitaevskii equations (NLS/GP) with a focusing (attractive) nonlinear potential and symmetric double well linear potential. NLS/GP plays a central role in the modeling of nonlinear optical and mean-field quantum many-body phenomena. It is known that there is a critical $L^2$ norm (optical power / particle number) at which there is a symmetry breaking bifurcation of the ground state. We study the rich dynamical behavior near the symmetry breaking point. The source of this behavior in the full Hamiltonian PDE is related to the dynamics of a finite-dimensional Hamiltonian reduction. We derive this reduction, analyze a part of its phase space and prove a {\it shadowing theorem} on the persistence of solutions, with oscillating mass-transport between wells, on very long, but finite, time scales within the full NLS/GP. The infinite time dynamics for NLS/GP are expected to depart, from the finite dimensional reduction, due to resonant coupling of discrete and continuum / radiation modes.

연구 동기 및 목표

• 비선형 슈뢰딩거/그로스-피타에프스키 방정식에 대해 대칭성 있는 이중우물 퍼텐셜을 가진 경우, 대칭성 붕괴 분기점 근처에서의 복잡한 역학적 행동을 이해하기 위해.
• 유한 차원 해밀토니안 축소가 전체 PDE 시스템의 장시간 역학을 어떻게 잘 포착하는지 분석하기 위해.
• 우주 간 질량 진동을 보이는 해가 매우 긴, 그러나 유한한 시간 스케일 동안 유지되는 조건을 설정하기 위해.
• 완전한 PDE에서 이산 모드와 방사성(연속 스펙트럼) 간의 공진 결합으로 인해 유한 차원 근사가 어떻게 붕괴되는지 조사하기 위해.

제안 방법

• 선형 슈뢰딩거 연산자의 기본 상태와 첫 번째 고(excited) 상태에 대한 투영을 통해 전체 NLS/GP PDE로부터 유한 차원 해밀토니안 축소를 유도한다.
• 특히 분기점 근처에서의 주기적 궤도와 진동 행동에 중점을 두고 축소된 해밀토니안 시스템의 위상공간 구조를 분석한다.
• 완전한 PDE의 해가 매우 긴, 그러나 유한한 시간 간격 동안 유한 차원 축소의 해와 가까이 유지됨을 보여주는 샤로잉 정리를 적용한다.
• 파동 연산자 이론에서 유도된 산산이 흩어지는 추정과 스트리카르츠 유형 부등식을 사용하여 해의 방사성(연속 스펙트럼) 성분을 제어한다.
• 선형화된 역학을 분석하기 위해 스펙트럼 이론과 왜곡된 푸리에 기저를 활용한다.
• 소볼레프 공간에서 파동 연산자의 유계성을 활용하여 잠재적 특이점과 감쇠 조건이 존재하는 상황에서 비선형 진동에 대한 추정을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전한 NLS/GP 방정식의 해는 대칭성 붕괴 분기점 근처에서 장시간 스케일에서 어떻게 행동하는가?
• RQ2 완전한 PDE의 역학은 분기점 근처에서 얼마나 잘 유한 차원 해밀토니안 시스템에 의해 근사될 수 있는가?
• RQ3 방사성 모드와의 공진 결합으로 인해 동역학이 붕괴되기 전까지, 두 우물 사이를 오가는 질량 운반을 하는 해는 얼마나 오래 지속되는가?
• RQ4 산산이 흩어지는 추정과 스트리카르츠 부등식은 장시간 진동에서 방사 꼬리(방사성 성분)를 어떻게 제어하는가?
• RQ5 파동 연산자와 왜곡된 푸리에 기저는 선형화된 역학 분석과 비선형 지속성 분석에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 우주 간 질량 진동을 보이는 해는 유한 차원 해밀토니안 축소에 의해 예측된 바와 같이 매우 긴, 그러나 유한한 시간 스케일 동안 지속된다.
• 유한 차원 축소는 대칭성 붕괴 분기점 근처에서 본질적인 역학을 잘 포착하며, 입자 수가 임계 임계값 $\mathcal{N}_{\text{cr}}$ 이상일 경우 비대칭 상태의 출현을 포함한다.
• 샤로잉 정리가 확립되어, 완전한 PDE 해가 편미분 계수의 역수에 다항식적으로 증가하는 시간 스케일 동안 축소 시스템의 궤도와 가까이 유지됨을 증명한다.
• 유한 차원 근사의 붕괴는 이산 결합 상태와 방사성(연속) 스펙트럼 간의 공진 결합으로 인해 발생하며, 이는 축소에 의해 포착되지 않는다.
• 산산이 흩어지는 추정과 스트리카르츠 부등식, $W^{k,p}$ 공간에서의 유계 파동 연산자 조합을 통해 방사성 성분을 제어할 수 있으며, 이는 장시간 지속성의 증명을 가능하게 한다.
• 델타 함수 특이성을 가진 퍼텐셜에 대해서도 [9]의 형식론을 활용하여 분석을 확장하여, 이론 프레임워크가 특정 비스무스 퍼텐셜에 대해서도 강건함을 보였다.