[논문 리뷰] Long-time dynamics of the nonhomogeneous incompressible flow of nematic liquid crystals

Xianpeng Hu, Hao Wu|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 21.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 41인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 2차원 유한 도메인에서 비균질 비압축성 난류 액정 유동에 대한 전역 강해의 장기적 행동을 조사한다. 속도장에 대한 붕괴 추정을 수립하고, 외부 힘이 渐진적으로 자율적이게 되는 조건 하에서 밀도 및 지향장이 정상 상태로 수렴함을 증명하며, 에너지 추정과 리아푸노프 유형 함수를 통해 명시적인 수렴 속도를 도출한다.

ABSTRACT

We study the long-time behavior of global strong solutions to a hydrodynamic system for nonhomogeneous incompressible nematic liquid crystal flows driven by two types of external forces in a smooth bounded domain in $\mathbb{R}^2$. For arbitrary large regular initial data with the initial density being away from vacuum, we prove the decay of the velocity field for both cases. Furthermore, for the case with asymptotically autonomous external force, we can prove the convergence of the density function and the director vector as time goes to infinity. Estimates on convergence rate are also provided.

연구 동기 및 목표

• 두 차원에서 비균질 비압축성 난류 액정 유동에 대한 전역 강해의 장기적 역학을 분석하는 것.
• 일반적인 외부 힘 하에서 속도장의 붕괴를 조사하는 것.
• 외부 힘이 渐진적으로 자율적이게 되는 경우 밀도 및 지향장이 정상 상태로 수렴함을 증명하는 것.
• 에너지 추정과 리아푸노프 함수를 사용하여 밀도 및 지향장의 명시적 수렴 속도를 도출하는 것.

제안 방법

• 운동 에너지, 지향장의 기울기 에너지, 잠재 에너지 편차를 조합한 리아푸노프 유형 함수 $ \mathcal{Q}(t) $ 를 유도한다.
• 가가르도-니레인베르크 및 레이드제브스키 유형 부등식을 사용하여 에너지 및 소산 항에 대한 균일한 유계를 확립한다.
• 에너지-소산 균형에 그론발 유형 부등식을 적용하여 붕괴 추정을 도출한다.
• 타원형 정규성 추정을 사용하여 지향장의 $ \mathbf{H}^1 $ 수렴을 $ \mathbf{H}^2 $ 정규성으로 향상시킨다.
• 에너지 추정에서 강제항을 제어하기 위해 시간에 따라 변화하는 붕괴 조건을 외부 힘 $ \mathbf{g}(t) $ 에 도입한다.
• 에너지 함수 $ \mathcal{Q}(t) $ 와 소산 항 $ A(t) $ 를 조합한 수정된 에너지 함수 $ \mathcal{Q}_1(t) $ 를 사용하여 지수 붕괴 속도를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 외부 힘 하에서 2차원 유한 도메인에서 시간이 무한히 흐를수록 속도장이 0으로 붕괴하는가?
• RQ2 외부 힘이 渐진적으로 자율적이게 되는 경우 밀도 및 지향장이 정상 상태로 수렴하는가?
• RQ3 속도, 밀도, 지향장이 각각의 극한으로 수렴하는 속도는 무엇인가?
• RQ4 붕괴 속도는 외부 힘의 정규성과 붕괴 정도에 어떻게 의존하는가?
• RQ5 리아푸노프 함수와 에너지 추정을 통해 수렴을 정량화할 수 있는가?

주요 결과

• 일반적인 외부 힘 하에서 속도장은 $ \|v(t)\|_{\mathbf{H}^1} \leq C(1+t)^{-\kappa} $ 를 만족하며, $ \kappa > 0 $ 이다.
• 외부 힘 $ \mathbf{g}(t) $ 가 $ \|\mathbf{g}(t)\| \leq C(1+t)^{-(1+\xi)} $ 를 만족하고 $ \xi > 0 $ 이면, 밀도 및 지향장은 정상 상태로 수렴한다.
• 지향장의 $ \mathbf{H}^1 $ 수렴 속도는 $ \|d(t) - d_\infty\|_{\mathbf{H}^1} \leq C(1+t)^{-\kappa} $ 를 만족하며, $ \kappa \in (\frac{3}{8}, \frac{1}{2}) $ 이다.
• 타원형 추정을 통해 지향장은 $ \mathbf{H}^2 $ 정규성을 확보하며, 붕괴 속도는 $ \|d(t) - d_\infty\|_{\mathbf{H}^2} \leq C(1+t)^{-\kappa} $ 를 만족한다.
• 속도의 $ \mathbf{W}^{2,q} $ 노름은 시간에 대해 적분 가능하며, $ \nabla v $ 가 적절하게 붕괴할 경우 밀도에 대한 균일한 $ W^{1,r} $ 유계를 보장한다.
• $ \kappa > \frac{3}{2} $ 인 경우, $ \nabla v $ 의 $ \mathbf{L}^\infty $ 노름은 시간에 대해 적분 가능하며, 밀도에 대한 균일한 $ W^{1,r} $ 유계를 보장한다.