[논문 리뷰] Longest Common Subsequences in Sets of Permutations

Paul Beame, Eric Blais외 1명|ArXiv.org|2009. 04. 10.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 10인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 임의의 상수 $ k \geq 3 $에 대해 $ n $ 개의 원소에 대한 $ k $ 개의 순열에서 가장 긴 공통 부분수열(LCS)의 길이가 점 渐진적으로 $ 32(kn)^{1/3} $ 이하로 유계임을 증명한다. 이는 이전에 알려진 하한 $ n^{1/3} $ 이 상수 인자 범위 내에서 정확히 tight하다는 것을 보여주며, 소수 모듈로를 사용한 모듈로 산술과 삼중 좌표에서 유도된 사전순서를 활용한 구성적 대수적 방법을 통해 결과를 도출한다.

ABSTRACT

The sequence a_1,...,a_m is a common subsequence in the set of permutations S = {p_1,...,p_k} on [n] if it is a subsequence of p_i(1),...,p_i(n) and p_j(1),...,p_j(n) for some distinct p_i, p_j in S. Recently, Beame and Huynh-Ngoc (2008) showed that when k>=3, every set of k permutations on [n] has a common subsequence of length at least n^{1/3}. We show that, surprisingly, this lower bound is asymptotically optimal for all constant values of k. Specifically, we show that for any k>=3 and n>=k^2 there exists a set of k permutations on [n] in which the longest common subsequence has length at most 32(kn)^{1/3}. The proof of the upper bound is constructive, and uses elementary algebraic techniques.

연구 동기 및 목표

• 모든 $ n $ 개의 원소에 대한 $ k $ 개의 순열에서 가장 긴 공통 부분수열의 길이 $ f_k(n) $ 의 점 渐진적 행동을 규명하는 것.
• 기존의 하한 $ f_k(n) \geq \lceil n^{1/3} \rceil $ 과 상한 사이의 격차를, 특히 상수 $ k \geq 3 $ 에서 해결하는 것.
• $ k = n^{o(1)} $ 인 경우 $ f_k(n) $ 이 $ n^{1/2 - o(1)} $ 만큼 증가한다는 추측을 반박하기 위해, $ f_k(n) $ 이 오직 $ n^{1/3} $ 수준으로 증가함을 보여주는 것.
• 기초 대수 기법과 모듈로 산술을 사용하여 $ f_k(n) $ 에 대한 구성적 상한을 제공하는 것.

제안 방법

• 소수 모듈로 $ p \approx (nk)^{1/3} $ 에 기반한 삼중 좌표 $ (x, y, z) $ 에 기반한 사전순서를 사용하여 $ [n] $ 에서 $ k $ 개의 순열을 정의한다.
• 각 원소 $ [n] $ 에 고유한 삼중 $ (x, y, z) $ 를 할당하며, $ x \in [s_1] $, $ y \in [s_2] $, $ z \in [s_3] $ 이고, $ s_1 = \lceil (n/k^2)^{1/3} \rceil $, $ s_2 = s_3 = (nk)^{1/3} $ 이다.
• $ i \in [k] $ 에 대해, 각 원소 $ a $ 에 대해 $ h_{3,i}(a) = i^2 x + 2i y + 2z \mod p $ 의 값에 따라 증가하는 순서로 순열 $ \pi_i $ 를 정의한다.
• Bertrand의 정리를 사용하여 $ p < 8(nk)^{1/3} $ 임을 확보함으로써, 임의의 공통 부분수열에서 $ (h_{3,i}(a_t), h_{3,j}(a_t)) $ 의 서로 다른 쌍의 수가 $ 2p - 1 $ 이하로 유계임을 보장한다.
• 모순을 통해 공통 부분수열 내의 색인에서 쌍 $ (h_{3,i}(a_t), h_{3,j}(a_t)) $ 는 모두 서로 다를 수밖에 없음을 증명하고, 이로 인해 부분수열 길이에 대한 상한 $ 2p - 1 $ 을 유도한다.
• 정수 $ s_1, s_2, s_3 $ 에서 일반적인 경우로 결과를 확장하기 위해 $ n $ 을 $ n' \leq 8n $ 으로 패딩하여 좌표가 정수가 되게 하고, 점 渐진적 유계를 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 상수 $ k \geq 3 $ 에 대해 $ f_k(n) $ 의 하한 $ n^{1/3} $ 이 점 渐진적으로 tight한가?
• RQ2 상수 $ k $ 에 대해 $ f_k(n) $ 의 상한을 $ O((kn)^{1/3}) $ 초과로 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 $ k = n^{o(1)} $ 인 경우 $ f_k(n) \geq n^{1/2 - o(1)} $ 라는 추측은 참인가, 아니면 더 엄격한 유계로 반박되는가?
• RQ4 k개의 순열 집합에서 공통 부분수열의 최대 길이는 얼마이며, 이를 명시적으로 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $ k \geq 3 $ 과 $ n \geq k^2 $ 에 대해, $ [n] $ 에서 $ k $ 개의 순열을 포함하는 집합이 존재하여, 그 중 가장 긴 공통 부분수열의 길이가 최대 $ 32(kn)^{1/3} $ 이하임을 보여준다.
• 상한 $ f_k(n) \leq 32(kn)^{1/3} $ 는 구성적이며, 모듈로 산술과 좌표 삼중의 사전순서를 사용하여 도출되었다.
• 모든 상수 $ k \geq 3 $ 에 대해 $ f_k(n) = \Theta(n^{1/3}) $ 이며, 이는 상수 인자 범위 내에서 정확히 tight하다. 이는 $ f_k(n) $ 의 점 渐진적 행동을 해결한다.
• 이 결과는 $ k = n^{o(1)} $ 인 경우 $ f_k(n) \geq n^{1/2 - o(1)} $ 라는 추측을 반박하며, 대신 $ f_k(n) $ 이 오직 $ n^{1/3} $ 수준으로 증가함을 보여준다.
• 구성은 소수 모듈로 $ p \approx (nk)^{1/3} $ 를 사용하고, 모듈로에서의 선형 형식에 기반한 순열을 정의함으로써, 긴 공통 부분수열이 존재하지 않도록 보장한다.
• 증명은 임의의 공통 부분수열이 반복된 모듈로 값 쌍을 요구할 것이며, 선형 형식의 구조와 모듈로 산술에서의 삼각부등식에 의해 이것이 불가능함을 보여준다.