[논문 리뷰] Longest Unbordered Factor in Quasilinear Time

Tomasz Kociumaka, Ritu Kundu외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 01.

Algorithms and Data Compression참고 문헌 12인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 일반 알파벳 상에서 단어의 모든 위치에 대해 시작하는 가장 긴 무경계 인자의 배열을 계산하기 위한 O(n log n)-시간 랜덤화 알고리즘과 O(n log n log² log n)-시간 결정론적 변형을 제안한다. 이 알고리즘은 단어의 각 위치에서 시작하는 가장 긴 무경계 인자의 길이를 효율적으로 결정하며, 이는 정수 알파벳에 대해 이전의 O(n^1.5)-시간 한계를 크게 향상시키고, 후행 인자와 후크 포인터를 기반으로 한 새로운 조합적 접근을 통해 모든 알파벳으로 확장한다.

ABSTRACT

A border u of a word w is a proper factor of w occurring both as a prefix and as a suffix. The maximal unbordered factor of w is the longest factor of w which does not have a border. Here an O(n log n)-time with high probability (or O(n log n log^2 log n)-time deterministic) algorithm to compute the Longest Unbordered Factor Array of w for general alphabets is presented, where n is the length of w. This array specifies the length of the maximal unbordered factor starting at each position of w. This is a major improvement on the running time of the currently best worst-case algorithm working in O(n^{1.5}) time for integer alphabets [Gawrychowski et al., 2015].

연구 동기 및 목표

• 단어의 각 위치에서 시작하는 가장 긴 무경계 인자의 길이를 지정하는 가장 긴 무경계 인자 배열을 계산하기 위해.
• 정수 알파벳에 대해 이전 알고리즘의 O(n^1.5) 최악의 시간 복잡도를 극복하기 위해 새로운 조합적 접근을 도입하기 위해.
• 정수 알파벳을 초월하여 일반 알파벳으로도 해법을 확장하여 임의의 알파벳에 대해 효율적인 계산을 가능하게 하기 위해.
• 이전 최고 알고리즘은 전체 배열을 계산하지 않고 최대 무경계 인자만 계산했기에, 시간 복잡도를 크게 향상시키기 위해.
• 고확률로 O(n log n) 시간을 갖는 랜덤화 알고리즘과 O(n log n log² log n) 시간을 갖는 결정론적 변형을 제공하기 위해.

제안 방법

• 알고리즘은 가장 긴 후행 인자(LSFℓ 및 LSFr)의 개념을 사용하여 무경계 인자의 후보 참조를 사전 계산한다.
• 요소가 경계를 도입하지 않고 확장될 수 있는 최초의 위치를 추적하기 위해 HOOK 배열을 유지한다.
• 오른쪽에서 왼쪽으로 각 위치 i에 대해, LSFℓ 및 LSFr에서의 참조를 사용한 동적 프로그래밍을 통해 i에서 시작하는 가장 긴 무경계 인자를 계산한다.
• 중복된 재계산을 방지하기 위해 잠재적 참조 검사를 사용하여 HOOK 배열을 업데이트한다.
• 무경계 단어의 조합적 성질과 경계와 주기 사이의 이중성 관계를 활용하여 관련 비교의 수를 제한한다.
• 랜덤화된 버전은 무경계 인자 길이에 대한 기대값을 활용하여 고확률로 O(n log n) 시간을 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 알파벳에 대해 가장 긴 무경계 인자 배열을 이차 시간 이하로 계산할 수 있는가?
• RQ2 모든 위치에 대해 가장 긴 무경계 인자 배열을 계산하는 데 있어 최적의 시간 복잡도는 무엇인가?
• RQ3 경계와 주기 사이의 이중성을 어떻게 활용하여 더 빠른 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ4 랜덤화된 알고리즘이 일반 알파벳에 대해 고확률로 O(n log n) 시간 복잡도를 달성할 수 있는가?
• RQ5 가장 긴 무경계 인자 배열을 계산하는 결정론적 시간 복잡도는 무엇이며, 랜덤화된 버전과 경쟁 가능한가?

주요 결과

• 논문은 임의의 알파벳에 대해 고확률로 O(n log n) 시간 내에 가장 긴 무경계 인자 배열을 계산하는 랜덤화 알고리즘을 제시한다.
• 결정론적 변형 알고리즘은 O(n log n log² log n) 시간 내에 실행되어 최악의 경우 보장을 제공한다.
• 이전의 정수 알파벳에 대한 O(n^1.5)-시간 한계를 초월하며, 이전 알고리즘은 전체 배열이 아닌 최대 무경계 인자만 계산했기에, 이는 상당한 향상이다.
• 이 접근법은 다항식 크기의 정수 알파벳에 국한되지 않고 임의의 알파벳에 일반적으로 적용 가능하다.
• 알고리즘의 최악의 경우 동작은 최악의 입력 가족에서 Θ(n log n) 총 스택 크기로 제한되며, 이는 이론적 시간 복잡도 한계를 확인한다.
• 알고리즘은 후행 인자와 후크 포인터를 결합한 새로운 데이터 구조를 사용하여 오른쪽에서 왼쪽으로 무경계 인자 정보를 효율적으로 전파한다.