[논문 리뷰] Loop Groups, Higgs Fields and Generalised String Classes

Raymond F. Vozzo|ArXiv.org|2009. 06. 26.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 35인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 기반점을 가진 루프 군 배럴(ΩG-bundles)을 위한 고차원 특성류로 문자열 클래스의 차단 조건을 일반화하며, 배럴 거터스를 통한 전이 사상의 기하적 실현을 도입한다. ΩG-bundles를 위한 칼라-바이어 유형 이론을 수립하고, LG⋊S¹-bundles로의 칼로론 대응을 확장하며, 중심 확장과 힉스 필드를 사용하여 승격 장애의 명시적 드 라함 표현을 제공한다.

ABSTRACT

We consider various generalisations of the string class of a loop group bundle. The string class is the obstruction to lifting a bundle whose structure group is the loop group $LG$ to one whose structure group is the Kac-Moody central extension of the loop group. We develop a notion of higher string classes for bundles whose structure group is the group of based loops, $ΩG$. In particular, we give a formula for characteristic classes in odd dimensions for such bundles which are associated to characteristic classes for $G$-bundles in the same way that the string class is related to the first Pontrjagyn class of a certain $G$-bundle associated to the loop group bundle in question. This provides us with a theory of characteristic classes for $ΩG$-bundles analogous to Chern-Weil theory in finite dimensions. This also gives us a geometric interpretation of the well-known transgression map $H^{2k}(BG) o H^{2k-1}(G).$ We also consider the obstruction to lifting a bundle whose structure group is not the loop group but the semi-direct product of the loop group with the circle, $LG times S^1$. We review the theory of bundle gerbes and their application to central extensions and lifting problems and use these methods to obtain an explicit expression for the de Rham representative of the obstruction to lifting such a bundle. We also relate this to a generalisation of the so-called `caloron correspondence' (which relates $LG$-bundles over $M$ to $G$-bundles over $M imes S^1$) to a correspondence which relates $LG times S^1$-bundles over $M$ to $G$-bundles over $S^1$-bundles over $M$.

연구 동기 및 목표

• ΩG-bundles를 위한 고차원 특성류 이론을 유한차원에서 칼라-바이어 이론과 유사하게 개발하는 것.
• 배럴 거터스와 힉스 필드를 사용하여 H²ᵏ(BG) → H²ᵏ⁻¹(G)의 전이 사상의 기하적 실현을 하는 것.
• M 위의 LG-bundles에서 M 위의 LG⋊S¹-bundles로의 칼로론 대응을 확장하고, 이를 S¹-bundles 위의 G-bundles와 연결하는 것.
• 중심 확장과 배럴 거터스를 통해 LG⋊S¹-bundles의 승격 문제에 대한 장애류의 명시적 드 라함 표현을 제공하는 것.
• 루프 군과 원을 포함하는 반직접곱 배럴로 문자열 구조의 개념을 LG-bundles를 초월해 일반화하는 것.

제안 방법

• 중심 확장을 모델링하고 LG를 구조군으로 하는 주어진 배럴을 분류하기 위해 배럴 거터스와 승격 배럴 거터스를 사용한다.
• LG-bundles와 LG⋊S¹-bundles의 분류 사상을 특성류와 연결하기 위해 힉스 필드를 적용한다.
• 경로 필버링과 단순형 선다발을 사용한 L∨G-bundles의 분류를 통해 L∨G-bundles의 보편 문자열 클래스를 구성한다.
• 특성류의 G-bundles와 ΩG-bundles 간의 관계를 제공하기 위해 코homology의 전이 사상을 활용하며, 기하적 해석을 제공한다.
• S¹이 LG 위에 작용하는 방식과 관련된 휘어진 등가 구조를 사용하여 LG⋊S¹-bundles의 장애류에 대한 명시적 드 라함 표현을 도출한다.
• M 위의 S¹-bundles 위의 G-bundles와의 대응 관계를 이용하여 분류 사상을 승격하고 장애 형식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 LG-bundles의 문자열 클래스 장애는 어떻게 ΩG-bundles를 위한 고차원 특성류로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 배럴 거터스와 힉스 필드의 관점에서 H²ᵏ(BG) → H²ᵏ⁻¹(G)의 전이 사상은 어떻게 기하적으로 실현되는가?
• RQ3 칼로론 대응은 어떻게 LG-bundles에서 LG⋊S¹-bundles로 확장될 수 있으며, 해당하는 배럴 이론적 대응은 무엇인가?
• RQ4 LG⋊S¹-bundles의 승격 문제에 대한 장애류의 명시적 드 라함 표현은 무엇인가?
• RQ5 힉스 필드와 배럴의 휘어진 등가 구조는 ΩG-bundles의 특성류와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 논문은 G-bundles의 특성류에 자연스럽게 연관된 ΩG-bundles를 위한 홀수 차원 특성류 이론을 구성하며, 첫 번째 폰트랴긴 클래스의 전이로서 문자열 클래스를 일반화한다.
• 배럴 거터스와 힉스 필드를 사용하여 H²ᵏ(BG) → H²ᵏ⁻¹(G)의 전이 사상에 대한 기하적 해석을 제공하며, 코homological 연산을 기하적 구조와 연결한다.
• S¹이 LG 위에 작용하는 방식과 관련된 승격 배럴 거터스를 사용하여 LG⋊S¹-bundles의 승격 문제에 대한 장애류에 대한 명시적 드 라함 표현을 도출한다.
• 경로 필버링과 단순형 선다발을 사용한 L∨G-bundles의 분류를 통해 L∨G-bundles의 보편 문자열 클래스를 구성한다.
• M 위의 S¹-bundles 위의 G-bundles와의 이sovorphism 클래스 사이에 이원적 대응 관계를 확립하며, 칼로론 대응을 확장한다.
• P → P/LG 가 평가 사상 γ ↦ γ(1)를 통한 LG에서 G로의 구조군의 확장과 동형임을 보여주며, 기하적 승격 구성의 일관성을 확인한다.