[논문 리뷰] Loop homology algebra of a closed manifold

Yves Félix, Jean‐Claude Thomas외 1명|ArXiv.org|2002. 03. 14.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 닫힘, 단순연결, 양의 방향성을 가진 다양체의 루프 호몰로지 대수에 대해 임의의 체 위에서 명시적인 체인 모델을 구성하며, 기반 루프 공간의 폰트리아긴 대수로의 루프 곱과 교차 사상(Intersection morphism)을 계산한다. 주요 기여는 교차 사상의 핵이 노르마르 아이디얼임을 증명하는 것으로, 그 지수는 최대 d/2(또는 특성 0일 경우 cat M)이며, 그 이미지는 폰트리아진 대수의 중심에 속한다. 이는 루프 호몰로지가 크지만 이미지는 일반적으로 매우 작다는 것을 의미한다.

ABSTRACT

The loop homology of a closed orientable manifold $M$ of dimension $d$ is the ordinary homology of the free loop space $M^{S^1}$ with degrees shifted by $d$, i.e. $\mathbb H_*(M^{S^1}) = H_{*+d}(M^{S^1})$. Chas and Sullivan have defined a loop product on $\mathbb H_*(M^{S^1})$ and an intersection morphism $I : \mathbb H_*(M^{S^1}) o H_*(ΩM)$. The algebra $\mathbb H_*(M^{S^1})$ is commutative and $I$ is a morphism of algebras. In this paper we produce a model that computes the algebra $\mathbb H_*(M^{S^1})$ and the morphism $I$. We show that the kernel of $I$ is nilpotent and that the image is contained in the center of $H_*(ΩM)$, which is in general quite small.

연구 동기 및 목표

• 닫힘, 단순연결, 양의 방향성을 가진 다양체에 대해 자유 루프 공간의 루프 호몰로지 대수와 교차 사상을 계산하는 명시적인 체인 수준 모델을 구성하는 것.
• 특히 루프 곱과 기반 루프 공간 호몰로지로의 교차 사상 간의 상호작용을 포함한 루프 호몰로지 대수의 대수적 구조를 이해하는 것.
• 교차 사상의 이미지와 핵의 크기 및 구조를 특정하여, 다양체의 위상수학적 성질과의 관계를 규명하는 것.
• 교차 사상의 이미지가 폰트리아진 대수의 중심에 속한다는 것을 입증함으로써, 이는 다양체의 호모토피 유형에 의해 제약을 받는다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• Cohen-Jones 동형사상(이sovorphism)을 이용하여 다양체의 정칙 코호몰로지 대수의 호크시하우저 코호몰로지와 루프 호몰로지 간의 동치를 규명한다.
• 호크시하우저 코호몰로지의 게르스텐하버 곱을 활용하여 루프 곱에 대한 체인 모델을 구성하며, 차수를 이동시키기 위해 스 suspension 이sovorphism을 사용한다.
• Hochschild 코호몰로지와 계수를 갖는 Hochschild 코호몰로지 다이어그램을 이용하여 ℋ*(LM; k) → H*(ΩM; k)의 교차 사상 I를 기술한다.
• 특성 0일 경우, 그레이드 리 대수의 보편 포괄 대수의 중심에 관한 대수적 결과를 적용하여 I의 이미지를 분석한다.
• 다양체의 푸앵카레 쌍대성 구조를 활용하여 체인 모델을 기본 클래스와 연결하고, 호크시하우저 코호몰로지에서의 쌍대성 동형사상을 수립한다.
• 반순서 이중모듈러의 올림 및 호모토피 확장 성질을 활용하여 호몰로지 클래스의 체인 수준 대표를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 닫힘, 단순연결, 양의 방향성을 가진 다양체 M에 대해 체 k 위에서 루프 호몰로지 대수 ℋ*(LM; k)의 대수적 구조는 어떠한가?
• RQ2 교차 사상 I: ℋ*(LM; k) → H*(ΩM; k)는 폰트리아진 대수 H*(ΩM; k)의 대수적 구조와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 I의 이미지는 H*(ΩM; k)의 중심에 포함되는가? 그리고 그 크기는 어느 정도일 수 있는가?
• RQ4 I의 핵의 노르마르 지수는 무엇이며, 그 지수는 루스테르니크-슐레르렐만 카테고리나 차원과 같은 다양체의 위상적 불변량에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ5 교차 사상 I가 전사일 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 교차 사상 I: ℋ*(LM; k) → H*(ΩM; k)의 핵은 최대 d/2의 노르마르 지수를 가진 노르마르 아이디얼이며, 여기서 d는 다양체 M의 차원이다.
• I의 이미지는 폰트리아진 대수 H*(ΩM; k)의 중심에 속하며, 일반적으로 매우 작다. 이는 루프 호몰로지 대수가 I의 이미지보다 훨씬 크다는 것을 의미한다.
• 체 k의 특성이 0일 경우, ker I의 노르마르 지수는 다양체 M의 루스테르니크-슐레르렐만 카테고리에 의해 상한으로 제약을 받는다.
• 특성 0일 경우, I의 이미지와 유리화된 호모토피 군 π*(ΩM)⊗k의 교차는 정확히 유리화된 고틀리브 군 G*(M)⊗k와 일치한다.
• I의 이미지의 성장률은 다항식적이다: ∑_{i=0}^n dim(Im I ∩ H_i(ΩM; k)) ≤ Cn^k 를 만족하는 어떤 C > 0와 k ≤ cat M가 존재한다.
• 교차 사상 I는 M이 홀수 차원의 초구들의 곱의 유리 호모토피 유형을 가질 때이고, 그때에만 전사이다.