[논문 리뷰] Loop Quantum Gravity in Ashtekar and Lagrange-Finsler Variables and Fedosov Quantization of General Relativity

Sergiu I. Vacaru|ArXiv.org|2008. 01. 31.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 43인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 비선형(비완전) 2+2 및 3+1 시공간 피브레이션에 적응된 Ashtekar–Barbero 변수를 도입함으로써, 루프 양자중력(LQG)과 Fedosov 변형 양자화를 통합하는 유일한 프레임워크를 제안한다. 일반 상대성 이론을 라그랑주–필너 변수와 거의 심플렉틱 기하학을 사용하여 기술하고, N-적응 Ashtekar d-접속을 통한 Fedosov 유형의 별곱을 구성하며, 배경 독립적이고 기하학적으로 일관된 방식으로 양자공변성 아인슈타인 방정식을 유도한다.

ABSTRACT

We propose an unified approach to loop quantum gravity and Fedosov quantization of gravity following the geometry of double spacetime fibrations and their quantum deformations. There are considered pseudo-Riemannian manifolds enabled with 1) a nonholonomic 2+2 distribution defining a nonlinear connection (N-connection) structure and 2) an Arnowitt-Deser-Misner 3+1 decomposition. The Ashtekar-Barbero variables are generalized and adapted to the N-connection structure which allows us to write the general relativity theory equivalently in terms of Lagrange-Finsler variables and related canonical almost symplectic forms and connections. The Fedosov results are re-defined for gravitational gauge like connections and there are analyzed the conditions when the star product for deformation quantization is computed in terms of geometric objects in loop quantum gravity. We speculate on equivalence of quantum gravity theories with 3+1 and 2+2 splitting and quantum analogs of the Einstein equations.

연구 동기 및 목표

• 루프 양자중력(LQG)과 Fedosov 변형 양자화를 하나의 기하학적 프레임워크 내에서 통합하기.
• 비선형(비완전) 2+2 및 3+1 피브레이션을 사용하여 일반 상대성 이론을 라그랑주–필너 변수로 재구성하기.
• Ashtekar–Barbero d-접속을 기반으로 한 Fedosov 별곱을 통한 배경 독립적이고 기하학적으로 일관된 중력의 양자화 구축하기.
• 거의 심플렉틱 및 라그랑주–필너 구조의 맥락에서 아인슈타인 방정식의 양자 동반자 유도하기.
• Fedosov 별곱이 루프 양자중력에서 기하적 대상으로 축소되는 조건 분석하기.

제안 방법

• 비완전한 2+2 분포와 편미분계량다양체 위의 비선형 접속(N-접속) 구조를 도입한다.
• N-접속 프레임워크에 적응된 Ashtekar–Barbero 변수를 적용하여 일반 상대성 이론의 캐논ical 거의 심플렉틱 기술을 가능하게 한다.
• N-적응 Ashtekar–Barbero d-접속을 구성하고 중력 게이지 유사 접속을 위한 Fedosov d-연산자를 정의한다.
• Fedosov의 변형 양자화 절차를 중력에 적용하기 위해 평탄한 Fedosov–Ashtekar d-접속을 정의하고, 유도된 별곱을 도출한다.
• Fedosov d-접속의 0차 코hom올로지로 양자 상태를 식별하고, 양자공변성 아인슈타인 방정식을 유도한다.
• 왜곡 d-텐서와 N-적응 계수를 도입하여 표준 리만-레비치비타 접속과 Ashtekar–라그랑주 형식론 간의 관계를 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 루프 양자중력은 기하학적 프레임워크를 통해 Fedosov 변형 양자화와 일관되게 통합될 수 있는가?
• RQ2 Ashtekar–Barbero 변수는 비완전(비적분 가능)한 2+2 및 3+1 피브레이션으로 일반화될 수 있는가?
• RQ3 Fedosov 별곱이 변형 양자화에서 루프 양자중력의 기하적 대상으로 축소되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 비선형 접속과 라그랑주–필너 구조는 배경 독립적 양자중력을 기술하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 N-적응 형식론에서 Fedosov–Ashtekar d-접속을 통해 아인슈타인 방정식의 양자 동반자를 어떻게 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 N-적응 Ashtekar–Barbero d-접속을 사용하여 중력에 대한 Fedosov 유형의 별곱을 구성하여, 기하학적으로 일관된 방식으로 일반 상대성 이론의 변형 양자화를 가능하게 한다.
• Fedosov–Ashtekar d-접속의 0차 코호몰로지로부터 유도된 양자 상태는 Ashtekar–Lagrange 형식론에서 양자공변성 아인슈타인 방정식을 만족한다.
• 왜곡 d-텐서 $ \tensor[_{\text{--}}]{Z}{\text{--}}_{\beta\tau}^{\nu} $ 는 곡률과 비선형 접속 계수의 형태로 명시적으로 계산되며, 표준 접속과 Ashtekar 접속 간의 연결 고리를 제공한다.
• 별곱은 Fedosov–Ashtekar d-접속에 의해 유도되며, N-적응 계수 $ \tensor[_{\text{--}}]{L}{\text{--}}_{jk}^{i}, \tensor[_{\text{--}}]{C}{\text{--}}_{bc}^{a} $ 및 곡률 형식에 의존한다.
• 이 형식론은 배경 독립성을 유지하며, 변형 구조에 따라 국소 로렌츠 대칭을 위반하거나 유지할 수 있는 양자 보정을 허용한다.
• 짝수 차원 시공간에서는 정규 d-접속 $ \tensor[\widehat{}]{\mathbf{\Gamma}}{\text{--}}_{\beta\gamma}^{\alpha} $ 가 $ \widehat{L}_{jk}^{i} $ 와 $ \widehat{C}_{bc}^{a} $ 를 통해 정의되며, 일관된 양자 기술을 가능하게 한다.