[논문 리뷰] Lorentz and SU(3) groups derived from cubic quark algebra

Richard Kerner|ArXiv.org|2009. 01. 26.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 2인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비표준 교환관계를 가진 쿼크의 Z₃-등급 입자 삼차 대수에서 레이저 및 SU(3) 군을 유도한다. 여기서 삼차 반대칭 관계( j = e^{iπ/3}를 사용)와 Z₃-등급 삼차형식에 대한 공변성 원리가 SU(3)의 기본 및 고도 표현과 로렌츠 군의 스핀어 및 벡터 표현을 유도한다. 핵심 결과는 이러한 시공간 대칭성이 시공간을 사전 가정하지 않고 쿼크 수준의 비가환 대수적 구조로부터 대수적으로 유도된다는 것이다.

ABSTRACT

We show that the Lorentz and the SU(3) groups can be derived from the covariance principle conserving a $Z_3$-graded three-form on a $Z_3$-graded cubic algebra representing quarks endowed with non-standard commutation laws.

연구 동기 및 목표

• 시공간을 사전 가정하지 않고 쿼크의 기본 대수적 구조에서 레이저 및 SU(3)와 같은 시공간 대칭성을 도출하는 것.
• 비표준 삼차 교환관계를 가진 Z₃-등급 결합 대수의 원소로 쿼크와 반쿼크를 기술하는 것.
• 이 대수 위에서 Z₃-등급 삼차형식의 공변성이 SU(3)의 기본 및 고도 표현, 그리고 로렌츠 군의 스핀어 및 벡터 표현을 생성함을 보여주는 것.
• 레이저 및 SU(3) 군이 시공간의 기본 대칭이 아니라 삼차 쿼크 대수의 대수적 대칭의 코팅군으로서 유도됨을 확립하는 것.

제안 방법

• j = e^{iπ/3}를 사용하여 삼차 반대칭 관계를 만족하는 N개의 생성자 θᴬ 및 그 켤레 생성자 θ̄˙ᴬ를 도입하여 Z₃-등급 대수를 구성한다.
• θᴬ를 등급 1, θ̄˙ᴬ를 등급 2로 정의하고, θᴬθᴮθᶜ와 같은 곱은 등급 0이 되며, 삼차 곱은 3차 이상에서 항상 0이 되도록 한다.
• 생성자에 대한 선형 변환에 대해 Z₃-등급 삼차형식의 공변성을 도입하여 삼차 행렬 K^Φ_abc의 변환 법칙을 유도한다.
• 변환 행렬 S^Φ′_Ω를 SU(3)의 고수준 표현으로, U^a′_b를 기본 표현으로 유도하며, 위상 인자 j^k를 제외한 나머지는 정확하다.
• π^μ_A˙B 행렬을 대수적 구조에서 유도하여 로렌츠 벡터 및 스핀어 표현을 구성하며, 민코프스키 계량 조건을 만족한다.
• 3×3 행렬 U^a′_b와 8×8 행렬 S^Φ′_Ω가 공변성 조건 하에서 각각 SU(3)의 기본 표현과 고도 표현임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시공간을 가정하지 않고 쿼크 간의 대수적 관계로부터 로렌츠 군을 도출할 수 있는가?
• RQ2 비표준 교환 규칙을 가진 Z₃-등급 삼차 쿼크 대수에서 SU(3) 군이 유도될 수 있는가?
• RQ3 Z₃-등급 삼차형식의 공변성이 삼차 대수 위에서 SU(3) 및 로렌츠 군의 표현이 어떻게 유도되는가?
• RQ4 삼차 단위근 j = e^{iπ/3}는 쿼크 수준의 대수에서 비아벨 대칭을 생성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 유도된 표현이 표준적인 SU(3)의 기본 및 고도 표현, 그리고 로렌츠 군의 스핀어 및 벡터 표현과 일치하는가?

주요 결과

• 레이저 군은 π^μ_A˙B 행렬의 변환을 통해 SL(2,C)의 Z₃-코팅으로서 유도되며, 이 행렬은 민코프스키 계량 조건 π^μ_A˙B π^ν^A˙B = diag(+,-,-,-)를 만족한다.
• SU(3) 군은 삼차형식의 공변성 군으로서 도출되며, 8×8 행렬 S^Φ′_Ω는 고도 표현을, 3×3 행렬 U^a′_b는 기본 표현을 형성한다. 위상 인자 j^k를 제외한 나머지는 정확하다.
• 삼차 관계로 생성된 대수는 유한 차원이며, 차원은 N + N² + (N³ - N)/3이다. 삼차 곱은 단위근 j 덕분에 3차 이상에서 항상 0이 된다.
• 공변성 조건 하에서 3×3 행렬 U^a′_b와 8×8 행렬 S^Φ′_Ω가 각각 SU(3)의 기본 표현과 고도 표현임을 보여준다.
• 9개의 독립적인 두차형식 P^i_a˙B = -j² P̄^i_˙Ba는 SU(3)의 3⊗3̄ 표현으로서 행동함을 확인하여 군의 구조를 확인한다.
• 논문은 이 대수에서 쿼크가 표준 디рак 방정식을 만족하지 않음을 증명한다. 대신 해는 복소 파동 벡터의 지수함수이며, 전파되지 않지만, 삼차 조합은 결합 시 실수 평면파처럼 행동할 수 있다.