[논문 리뷰] Lorentz spacetimes of constant curvature

Geoffrey Mess|ArXiv.org|2007. 06. 11.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 7인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 등 curvature를 가진 2+1차원 로렌츠 계량공간—평탄한, 디Sitter, 그리고 반-디Sitter 공간—을 그들의 호로노미 표현과 영향 영역 분석을 통해 분류한다. 반-디Sitter 공간에서 최대의 영향 영역은 테이히뮐러 공간의 쌍에 의해 매개변수화되며, 이는 볼록핵과 굽힘 라미네이션을 통해 서스턴의 어스쿼크 정리에 기하학적 증명을 제공한다.

ABSTRACT

This paper was first written in 1990, but was never published. In it, the author presents a novel approach to the study of constant curvature spacetimes in 2+1 dimensions. A parameterization of flat 2+1-dimensional domains of dependence is given in terms of measured geodesic laminations. There is also an interesting reinterpretation of Thurston's Earthquake Theorem involving anti-de Sitter spacetimes. With the permission of the author, it will be published for the first time in a forthcoming issue of Geometriae Dedicata, together with detailed "notes" outlining the developments in the field in the intervening years. The version posted here is nearly identical to the original; we merely corrected typographical errors and occasional notational mistakes, and also updated the references in the bibliography.

연구 동기 및 목표

• 등 curvature를 가진 2+1차원 로렌츠 계량공간에서 최대의 영향 영역을 분류하는 것, 특히 평탄한 공간과 반-디Sitter 공간에 중점을 두어.
• 호로노미 표현이 이러한 계량공간의 기하학적 및 위상수학적 성질을 결정하는 데서 수행하는 역할를 이해하는 것.
• 볼록핵과 굽힘 라미네이션을 통해 반-디Sitter 계량공간과 테이히뮐러 이론 사이의 기하학적 대응을 확립하는 것.
• 스페이스타임 경계가 스피아타임인 평탄한 및 음의 곡률을 가진 로렌츠 다양체에 대한 완비성 결과를 일반화하는 것.
• 디Sitter 계량공간의 구조를 탐구하고, 그들이 무한대에서의 사영 기하학과 어떻게 관련되어 있는지 분석하는 것—다만 전체 분류는 아직 추측 수준이다.

제안 방법

• G = ISO(2,1), SO(2,1) × R^{2+1}, 또는 디Sitter 공간의 경우 PSL₂R × PSL₂R일 때, 3차원 다양체 위의 (G,X)-구조를 분석하기 위해 개발 지도와 호로노미 표현을 사용한다.
• 닫힌 스피아타임 초면을 포함하는 최대의 계량공간을 식별하기 위해 영향 영역의 개념을 적용한다.
• 모델 공간의 컴actification(예: RP³)에서의 기본 커버의 경계를 분석하고, 무한대에서의 극한 원을 식별한다.
• 극한 원을 통해 왼쪽과 오른쪽 호로노미를 공역시켜 이산성과 푸크시안 유형의 행동을 유도한다.
• 서스턴-로크 강성 정리와 쿼어지푸크시안 군의 성질을 적용하여 호로노미 데이터와 테이히뮐러 공간 매개변수를 연결한다.
• 극한 원과 프레임 번들의 구조를 사용하여 기본 커버 위에서 호로노미 작용이 올바르게 이산적임을 보여, 반-디Sitter 기하구조의 완비성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 닫힌 스피아타임 초면을 포함하는 2+1차원 등 curvature 로렌츠 계량공간은 어떻게 분류할 수 있는가?
• RQ2 호로노미 표현이 이러한 계량공간의 전반적 기하학적 성질을 결정하는 데서 수행하는 역할는 무엇인가?
• RQ3 반-디Sitter 공간에서의 영향 영역은 테이히뮐러 공간과 볼록핵과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 반-디Sitter 계량공간을 사용하여 테이히뮐러 공간 내 임의의 두 점을 연결하는 어스쿼크의 존재를 기하학적으로 증명할 수 있는가?
• RQ5 왜 디Sitter 계량공간은 모델 공간에 항상 임베딩되지 않으며, 이는 그들의 분류에 대해 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 성 $g > 1$을 가진 평탄한 계량공간의 경우, 모든 최대의 영향 영역은 테이히뮐러 공간의 쌍대접속다발에 의해 매개변수화되는 두 가닥의 가닥으로 구성된다.
• 등 curvature가 $-1$인 반-디Sitter 계량공간의 경우, 최대의 영향 영역은 $\mathcal{T}_g \times \mathcal{T}_g$에 의해 매개변수화되며, 여기서 $\mathcal{T}_g$는 성 $g$의 테이히뮐러 공간이다.
• 이러한 반-디Sitter 계량공간의 볼록핵은 두 개의 경계 성분을 가지며, 각각에 굽힘 라미네이션이 부여되어 있어 서스턴의 어스쿼크 정리에 대한 기하학적 증명이 가능해진다.
• 무한대에서의 극한 원은 비어 있는 시간적 성질을 가진 위상수학적 원이며, 왼쪽과 오른쪽 호로노미를 공역시켜 어느 한쪽의 호로노미도 비자명한 핵을 가지지 않음을 보장한다.
• 호로노미 표현은 이산적이고 기약불가능하며, 기본군이 자유군이 아니며 푸크시안일 수 없음을 의미하므로 특정한 열화 현상을 배제한다.
• 극한 원과 프레임 번들의 구조를 사용하여 기본 커버 위에서 호로노미 작용이 올바르게 이산적임을 보여, 반-디Sitter 기하구조의 완비성이 확립된다.