[논문 리뷰] Lorentzian varifolds and applications to closed relativistic strings

Giovanni Bellettini, Matteo Novaga외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 17.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 28인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 민코프스키 시공간 내 폐쇄된 상대론적 끈을 연구하기 위한 일반화된 프레임워크로 루이지언 변형을 도입한다. 알그렌의 변형 이론을 루이지언 설정으로 확장하며, 정적 루이지언 변형의 존재성, 컴팩턴스성, 닫힘 성질을 확립한다. 이는 고전적이고 부분상대론적 끈을 포함하며, 에너지 및 운동량과 같은 보존량을 수용한다.

ABSTRACT

We develop a suitable generalization of Almgren's theory of varifolds in a lorentzian setting, focusing on area, first variation, rectifiability, compactness and closure issues. Motivated by the asymptotic behaviour of the scaled hyperbolic Ginzburg-Landau equations, and by the presence of singularities in lorentzian minimal surfaces, we introduce, within the varifold class, various notions of generalized minimal timelike submanifolds of arbitrary codimension in flat Minkowski spacetime, which are global in character and admit conserved quantities, such as relativistic energy and momentum. In particular, we show that stationary lorentzian 2-varifolds properly include the class of classical relativistic and subrelativistic strings. We also discuss several examples.

연구 동기 및 목표

• 민코프스키 시공간 내 루이지언 최소 표면 방정식의 약한 해를 위한 변형 기반 프레임워크를 개발하기 위해.
• 매개변수화에 의존하지 않는 일반화된 해를 도입하여 상대론적 끈의 특이점을 다루기 위해.
• 초월성(빛의 속도에 해당하는) 부분과 비-σ-유한 측도를 변형 이론에 통합하여, 쌍곡형 진지-랜드우 방정식의 해의 극한을 기록하기 위해.
• 타임라이크 h-평면의 콪팩티피케이션된 그라스만이안 위에 변형을 정의하여, 약한 수렴 하에서 컴팩턴스성과 닫힘 성질을 확보하기 위해.
• 고전적 상대론적 및 부분상대론적 끈을 일반화하고 에너지 및 운동량과 같은 보존량을 수용하는 정적 루이지언 변형을 정의하기 위해.

제안 방법

• 민코프스키 시공간의 맥락에서 면적, 제1변분, 직선성의 정의를 재정의함으로써 알그렌의 변형 이론을 루이지언 설정으로 일반화하기 위해.
• 직선성과 약한 직선성 변형이라는 두 가지 개념을 도입하여, 특히 쌍곡형 진지-랜드우 해의 극한에서 나타나는 초월성 부분과 비-σ-유한 측도를 포함하기 위해.
• 타임라이크 평면의 그라스만이안의 콱팩티피케이션 위에 변형을 정의하여, 접선 평면의 붕괴 시퀀스가 존재할 경우에도 컴팩턴스성을 복원하기 위해.
• 라돈 측도의 분해 정리를 사용하여 변형을 원자적, 연속적, 특이적 부분으로 분해함으로써, 비-σ-유한 하우스도르프 유형 측도의 분석을 가능하게 하기 위해.
• 특히 초월성 집합에서 양의 h차원 측도를 가지는 경우에 비-σ-유한 측도를 다룰 수 있도록 일반화된 라돈-니코디움 정리를 적용하기 위해.
• 제1변분 조건을 통한 정적 성질을 확립하여, 일반화된 해 클래스 내에서 상대론적 에너지 및 운동량의 보존을 보장하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 알그렌의 변형 이론은 어떻게 루이지언 설정으로 일반화되어 루이지언 최소 표면 방정식의 약한 해를 기술할 수 있는가?
• RQ2 어떤 일반화된 변형 클래스가 특이점과 초월성 부분을 포함하는 쌍곡형 진지-랜드우 방정식의 해의 점근적 극한을 포괄할 수 있는가?
• RQ3 타임라이크 평면의 그라스만이안이 비콤팩트함에도 불구하고, 정적 루이지언 변형에 대해 컴팩턴스성과 닫힘 성질을 확립할 수 있는가?
• RQ4 에너지 및 운동량과 같은 보존량은 일반화된 변형 프레임워크 내에서 어떻게 엄밀하게 정의되고 유지될 수 있는가?
• RQ5 비-σ-유한 측도와 연속적 부분은 특히 양의 측도를 가지는 초월성 부분이 존재할 경우 약한 해의 기술에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 정적 루이지언 2-변형의 클래스는 고전적 및 부분상대론적 끈을 적절히 포함하며, 더 넓은 약한 해의 클래스를 제공한다.
• 약한 직선성 변형의 도입으로, 에너지가 양의 h차원 측도를 가지는 초월성 부분에 집중된 해들을 포함할 수 있게 되었다.
• 타임라이크 평면의 그라스만이안을 콱팩티피케이션한 위에 변형을 정의함으로써 변형 수열의 컴팩턴스성이 복원되었으며, 이는 접선 평면의 붕괴가 있을 경우에도 수렴 결과를 가능하게 한다.
• 일반화된 라돈-니코디움 정리는 측도를 절대 연속, 특이, 연속적 부분으로 분해할 수 있게 하여, 비-σ-유한 하우스도르프 측도를 다루는 데 핵심적인 역할을 한다.
• 일차원 정적 변형의 경우, 약간의 지지 조건 하에서 직선성과 약한 직선성이 일치함을 보여, 낮은 차원에서의 정의가 타당함을 검증한다.
• 분해 정리는 변형이 기저 공간 위의 섬유 측도로 분해될 수 있음을 보장하여, 국소적 기하학적 및 물리적 성질의 분석을 가능하게 한다.