[논문 리뷰] Lorenzen's proof of consistency for elementary number theory [with an edition and translation of "Ein halbordnungstheoretischer Widerspruchsfreiheitsbeweis'']

Thierry Coquand, Stefan Neuwirth|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 16.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 39인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 1944년 Paul Lorenzen가 작성한 이전에 발표되지 않은 수기에서, 순서 집합 위의 자유 가산 완비 준보완 반순서환을 이용하여 원소 수학 이론에 대한 구성적이고 컷 없는 일致성 증명을 제시한다. 증명은 순서 수 할당 없이 공식의 복잡도와 유도의 구조에 대한 이중 귀납법을 통해 유도의 공식과 유도를 귀납적으로 정의함으로써 이루어지며, 이는 N의 계산법이 일치하고 고전적 술어논리계를 포함한다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

We present a manuscript of Paul Lorenzen that provides a proof of consistency for elementary number theory as an application of the construction of the free countably complete pseudocomplemented semilattice over a preordered set. This manuscript rests in the Oskar-Becker-Nachlass at the Philosophisches Archiv of Universit{ä}t Konstanz, file OB 5-3b-5. It has probably been written between March and May 1944. We also compare this proof to Gentzen's and Novikov's, and provide a translation of the manuscript.

연구 동기 및 목표

• 원소 수학 이론의 일치성에 대해 1944년에 작성된 Paul Lorenzen의 이전에 발표되지 않은 수기를 제시하고 번역한다.
• 자유 가산 완비 준보완 반순서환의 존재성이 원소 수학 이론의 형식적 일치성을 포괄함을 보여준다.
• Lorenzen의 증명을 Gentzen과 Novikov의 접근과 비교하여, 구성적이고 순서 수가 없는 특성을 강조한다.
• 유도의 귀납적 정의와 허용 규칙을 기반으로 한 계산법 N이 일치하고 고전적 술어논리계를 포함함을 확립한다.
• 순서와 함의를 통해 대수학(이데알 이론)과 논리학(명제 추론)을 연결하는 격자 이론의 역할을 부각한다.

제안 방법

• 순서 집합 위의 자유 가산 완비 준보완 반순서환을 추론 체계로 구성한다.
• 구조 규칙(약화, 수축, 컷 포함)을 포함한 귀납적 규칙으로 유도를 정의한다.
• 공식의 복잡도와 유도의 구조에 대한 이중 귀납법을 통해 컷 규칙의 허용성을 증명한다.
• 무한수 전제 귀납법을 사용하여 기호 규칙과 자유 변수를 다루며, 치환에 대한 닫힘을 보장한다.
• 핵심 규칙의 추가와 정당화: 항등 규칙(A → A), 전칭 일반화(C → (x)A(x)), 완전 귀납법(A(a) → A(a′) ⇒ A(1) → A(b)).
• 이 규칙들을 추가해도 유도 가능한 관계의 집합이 증가하지 않음을 보여주며, 일치성을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Lorenzen의 원소 수학 이론에 대한 일치성 증명은 Gentzen의 순서 수 기반 접근과 어떻게 다를까?
• RQ2 자유 가산 완비 준보완 반순서환의 구성이 원소 수학 이론에서의 일치성의 형식적 내용을 어떻게 포괄하는가?
• RQ3 순서 수 할당 없이 공식의 유도에 대한 귀납적 정의만으로 컷 제거를 달성할 수 있는가?
• RQ4 격자 이론적 구조는 대수학의 이데알 이론과 논리학의 증명 이론 사이의 연결을 어떻게 형식화하는가?
• RQ5 Lorenzen의 일치성 증명에서 ω-규칙과 완전 귀납법의 역할은 무엇이며, 왜 이들을 추가해도 유도 가능한 관계의 집합이 증가하지 않는가?

주요 결과

• 계산법 N은 일치한다. 공백 관계 → 는 유도될 수 없으며, 기본 체계 P에서만 내용적으로 올바른 관계가 성립하기 때문이다. P는 N의 부분집합이다.
• 커트 규칙의 허용성은 순서 수 할당 없이 공식의 복잡도와 유도의 구조에 대한 이중 귀납법을 통해 증명된다.
• 자유 변수에 대한 규칙 A(a) → A(n)는 허용적이며, 전이수 전제 귀납법을 통해 추가해도 유도 가능한 관계의 집합이 증가하지 않는다.
• 항등 규칙 A → A는 모든 공식, 특히 원소 공식에 대해 유도 가능하다. →P와 P →를 조합하여 P → P를 도출할 수 있다.
• 완전 귀납법 규칙 A(a) → A(a′) ⇒ A(1) → A(b)는 허용적이며, 컷 규칙의 m번 반복 적용을 통해 추가해도 유도 가능한 관계의 집합이 증가하지 않는다.
• 모든 허용 규칙을 포함한 전체 계산법 N은 고전적 일阶 논리의 계산법을 포함하므로, 원소 수학 이론의 일치성이 증명된다.