[논문 리뷰] Loss of memory of random functions of Markov chains and Lyapunov exponents

Pierre Collet, Florencia Leonardi|arXiv (Cornell University)|2009. 08. 01.

Markov Chains and Monte Carlo Methods참고 문헌 9인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 마코프 체인의 랜덤 함수에서의 점점이 감소하는 기억의 점근적 지수적 비율이 관련된 행렬 곱의 첫 번째 두 리아푸노프 지수의 차이로 상한이 있음을 규명한다. 또한 이 상한이 과정의 일반적인 실현에서 거의 확실히 달성됨을 증명하여, 시스템이 무한한 기억을 유지하고 있으며, 적절한 기호 선택 하에 이 상한이 날카로운 것을 보여준다.

ABSTRACT

Abstract. In this paper we prove that the asymptotic rate of exponential loss of memory of a random function of a Markov chain (Zt)t∈Z is bounded above by the difference of the first two Lyapunov exponents of a certain product of matrices. We also show that this bound is in fact realized, namely for almost all realization of the process (Zt)t∈Z, we can find symbols where the asymptotic exponential rate of loss of memory attains the difference of the first two Lyapunov exponents. This shows that the process has infinite memory and leads to a lower bound on the asymptotic exponential loss of memory which is saturated (and equal to the upper bound for an adequate choice of the symbols) on a set of full measure. 1.

연구 동기 및 목표

• 마코프 체인의 랜덤 함수에서의 점근적 지수적 기억 상실 비율을 규명하는 것.
• 시스템과 관련된 행렬 곱의 리아푸노프 지수를 사용하여 이 비율에 대한 상한을 설정하는 것.
• 이 상한이 과정의 일반적인 실현에서 실제로 달성되는지 조사하는 것.
• 해당 상한이 전 measure의 집합에서 포화 상태에 도달함을 보여 주어, 시스템이 무한한 기억을 유지함을 입증하는 것.

제안 방법

• 분석은 랜덤 행렬 곱과 그 리아푸노프 지수의 이론에 기반한다.
• 저자들은 시스템 내의 변화량의 성장률을 결정짓는 리아푸노프 지수를 갖는 행렬 곱을 정의한다.
• 첫 번째와 두 번째 리아푸노프 지수의 차이를 사용하여 기억 상실 비율에 대한 상한을 유도한다.
• ergodic 이론과 거의 확실 수렴을 이용하여, 이 상한이 마코프 체인의 일반적인 실현에서 거의 확실히 달성됨을 보여준다.
• 기억 상실을 행렬 곱의 행동과 연결하기 위해 상태 공간 위에 기호 역학을 구성하는 데 사용된다.
• 행렬 곱의 점근적 행동을 특징짓기 위해 곱셈적 ergodic 정리를 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 마코프 체인의 랜덤 함수에서의 점근적 지수적 기억 상실 비율은 무엇인가?
• RQ2 이 비율은 관련된 행렬 곱의 리아푸노프 지수를 사용하여 상한이 될 수 있는가?
• RQ3 기억 상실 비율에 대한 이 상한이 과정의 거의 모든 실현에서 실제로 달성되는가?
• RQ4 시스템은 무한한 기억을 보이며, 만약 그렇다면 어떤 조건에서인가?
• RQ5 기호 과정의 어떤 조건에서 기억 상실에 대한 상한이 포화 상태에 도달하는가?

주요 결과

• 관련된 행렬 곱의 첫 번째 두 리아푸노프 지수의 차이로 기억 상실의 점근적 지수적 비율이 상한이 된다.
• 이 상한은 마코프 체인 과정의 거의 모든 실현에서 거의 확실히 달성된다.
• 기억 상실 비율이 양이며 리아푸노프 차이로 상한이 되므로, 시스템은 무한한 기억을 보인다.
• 적절한 기호 선택을 할 경우, 기억 상실에 대한 상한은 전 measure의 집합에서 포화 상태에 도달한다.
• 이 상한은 이론적인 것뿐만 아니라 일반적인 실현에서 실제로 구현되며, 그 날카로움을 확인한다.
• 결과는 행렬 곱의 역학적 안정성과 랜덤 함수의 기억 특성 사이에 정확한 대응 관계가 있음을 보여준다.