[논문 리뷰] Lotka-Volterra with randomly fluctuating environments: a full description

Florent Malrieu, Tran Hoa Phu|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 15.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 3인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 무작위로 전환되는 환경을 가진 이종 로트카-볼테라 시스템에서 장기적 행동을 완전히 분류한다. 두 환경 간의 전환 빈도에 따라 종속된 침입률을 분석함으로써, 어떤 유형의 환경 쌍이라도 전환 동역학에 따라 네 가지 가능한 장기적 결과—양종의 공존, 한 종의 거의 확실한 멸종, 또는 각각의 랜덤한 멸종—을 낳을 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

In this note, we study the long time behavior of Lotka-Volterra systems whose coefficients vary randomly. Benam and Lobry established that randomly switching between two environments that are both favorable to the same species may lead to four different regimes: almost sure extinction of one of the two species, random extinction of one species or the other and persistence of both species. Our purpose here is to provide a complete description of the model. In particular, we show that any couple of environments may lead to the four different behaviours of the stochastic process depending on the jump rates.

연구 동기 및 목표

• 무작위 환경 전환 하에서 로트카-볼테라 시스템의 장기적 확률적 행동을 완전히 특성화하는 것.
• 두 유리한 환경(예: 유형 1)이 전환 빈도에 따라 다양한 장기적 결과를 낳을 수 있다는 놀라운 현상을 해결하는 것.
• 멸종, 공존, 랜덤 멸종 제도의 완전한 매개변수 기반 분류를 수립하는 것.
• 침입률의 명시적 표현을 전환 빈도와 환경 매개변수의 함수로 유도하는 것.
• 모든 네 가지 역학 제도가 초기 환경 유형과는 무관하게 가능함을 보여주는 것—즉, 공존 또는 유리한 환경일지라도

제안 방법

• 시스템을 두 환경 상태 간에 무작위 빈도 λ₀ 및 λ₁로 전환하는 조각별 결정적 마르코프 과정(PDMP)으로 모델링한다.
• 다른 종이 근처에서 멸종 상태에 있을 때 각 종의 시간 평균 성장률인 침입률 Λₓ 및 Λᵧ를 정의하며, 이는 귀속 과정의 불변 측도를 사용한다.
• 내재된 역학과 전환 빈도의 영향을 분리하기 위해 전환 빈도를 (u,v) 좌표로 재매개변수화한다.
• 침입률 Λₓ 및 Λᵧ를 전환 동역학 하에서 시간에 따라 동일한 분포를 가지는 랜덤 변수 Uᵤ,ᵥ 를 포함한 기대값으로 표현한다.
• 침입률의 부호를 사용해 장기적 행동을 분류한다: 양수는 침입, 음수는 배제를 의미한다.
• 침입률의 영점 집합을 분석하여 (u,v) 매개변수 공간에서 서로 다른 제도를 나누는 임계 곡선 vₓ(u) 및 vᵧ(u)를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 환경 유형 쌍(예: 유형 1–1, 유형 3–3 등)이라도 침묵, 종 x 멸종, 종 y 멸종, 랜덤 멸종을 포함한 네 가지 장기적 행동을 모두 낳을 수 있는가?
• RQ2 전환 빈도(λ₀, λ₁)는 랜덤하게 전환되는 로트카-볼테라 시스템의 장기적 안정성과 멸종 역학에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 시스템이 공존, 거의 확실한 멸종, 또는 한 종의 랜덤 멸종을 보일지 결정하는 요건은 무엇인가?
• RQ4 어떤 조건에서 종의 침입률이 0이 되며, 이는 장기적 행동에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 서로가 같은 종에 유리한 환경(예: 유형 1)을 가진 두 환경이 여전히 전환 동역학으로 인해 그 종의 랜덤 멸종을 초래할 수 있는가?

주요 결과

• 어떤 환경 유형 쌍이라도 전환 빈도에 따라 네 가지 장기적 행동(공존, 종 x 멸종, 종 y 멸종, 랜덤 멸종)을 모두 낳을 수 있다.
• 임계 전환 빈도 곡선 vₓ(u) 및 vᵧ(u)는 (u,v) 매개변수 공간에서 서로 다른 장기적 행동이 발생하는 영역을 분리한다.
• 유형 1–1 환경의 경우, 침입률 Λᵧ는 함수 φ(y)와 랜덤 변수 Uᵤ,ᵥ 를 포함한 기대값으로 표현되며, 이 기대값의 부호가 멸종 또는 공존를 결정한다.
• 두 환경이 모두 유형 3(지속 가능성)일 경우에도 전환으로 인해 한 종의 멸종이 발생할 수 있으며, 이는 환경 노이즈의 비단조화적 영향을 보여준다.
• 침입률 함수의 영점 집합은 닫혀 있으며, 임계 곡선 vₓ(u) 및 vᵧ(u)는 특정 영역에서 연속적이고 단조롭다. 특히 u → 0일 때 vᵧ(u) → ∞ 이고, u → 1일 때 vᵧ(u) → 0 이다.
• 수치적 예시는 전환 빈도를 변화시킬 경우 최대 네 가지의 별개의 제도—기존의 결정론적 시스템에는 존재하지 않는 새로운 랜덤 멸종 제도 포함—를 도출할 수 있음을 확인한다.