[논문 리뷰] Lovász Meets Weisfeiler and Leman

Holger Dell, Martin Grohe외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 01.

Graph Theory and Algorithms참고 문헌 8인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 색 강화 알고리즘(1차원 Weisfeiler-Leman), 선형 프로그래밍을 통한 분수 이sov모르피즘, 그리고 나무에서의 호모모르피즘 수를 깊이 있게 연결한다. 두 그래프가 색 강화로 구별 불가능할 때이고 그때에만 모든 나무 T에 대해 Hom(T, G) = Hom(T, H)임을 증명하며, 이를 k차원 Weisfeiler-Leman과 트리 폭 k를 가진 그래프로 확장한다. 이는 Sherali-Adams 완화의 k번째 수준을 통해 이루어진다. 주요 기여는 두 그래프의 나무 호모모르피즘 수가 다를 경우를 결정하는 준선형 시간 알고리즘을 개발하는 것이다.

ABSTRACT

In this paper, we relate a beautiful theory by Lovász with a popular heuristic algorithm for the graph isomorphism problem, namely the color refinement algorithm and its k-dimensional generalization known as the Weisfeiler-Leman algorithm. We prove that two graphs G and H are indistinguishable by the color refinement algorithm if and only if, for all trees T, the number Hom(T,G) of homomorphisms from T to G equals the corresponding number Hom(T,H) for H. There is a natural system of linear equations whose nonnegative integer solutions correspond to the isomorphisms between two graphs. The nonnegative real solutions to this system are called fractional isomorphisms, and two graphs are fractionally isomorphic if and only if the color refinement algorithm cannot distinguish them (Tinhofer 1986, 1991). We show that, if we drop the nonnegativity constraints, that is, if we look for arbitrary real solutions, then a solution to the linear system exists if and only if, for all t, the two graphs have the same number of length-t walks. We lift the results for trees to an equivalence between numbers of homomorphisms from graphs of tree width k, the k-dimensional Weisfeiler-Leman algorithm, and the level-k Sherali-Adams relaxation of our linear program. We also obtain a partial result for graphs of bounded path width and solutions to our system where we drop the nonnegativity constraints. A consequence of our results is a quasi-linear time algorithm to decide whether, for two given graphs G and H, there is a tree T with Hom(T,G) = Hom(T,H).

연구 동기 및 목표

• 색 강화 알고리즘(1-WL)과 나무에서의 호모모르피즘 수 사이의 정밀한 연결 고리를 확립하기 위해.
• 나무에서의 호모모르피즘 수를 사용하여 두 그래프가 분수 이sov모르피즘일 조건을 기술하기 위해.
• Sherali-Adams 완화의 k번째 수준을 통해 k차원 Weisfeiler-Leman과 트리 폭이 유계인 그래프로 등가성을 확장하기 위해.
• 두 그래프가 나무 호모모르피즘 수에서 다를 경우를 결정하는 준선형 시간 알고리즘을 개발하기 위해.

제안 방법

• 두 그래프 G와 H가 색 강화로 구별 불가능할 때이고 그때에만 모든 나무 T에 대해 Hom(T, G) = Hom(T, H)임을 증명한다.
• 분수 이sov모르피즘을 정의하기 위해 선형 방정식계 Fiso(G, H)를 사용하며, 음이 아닌 실수 해가 존재할 조건이 색 강화로 G와 H를 구별하지 못할 조건임을 보인다.
• Hom(T, G) = Hom(T, H)에서 Hom(F, G) = Hom(F, H)로 확장하기 위해, 트리 폭 k를 가진 그래프 F에 대해 호모모르피즘 수를 Sherali-Adams 완화의 k번째 수준과 연결한다.
• 경로 분해 P가 폭 k를 가진 경우에 대해 조건부 백-와이즈 이sov모르피즘 호모모르피즘 수 bIso((F, P), G | u1...uk v1...vk)를 도입한다.
• 경로 분해 길이에 대한 귀납법을 사용하여, Lk+1_iso(G, H)에 실수 해가 존재하면, 모든 폭 k의 경로 분해 P를 가진 F에 대해 bIso((F, P), G) = bIso((F, P), H)임을 보인다.
• 경로 폭이 최대 k인 그래프에 대해, Lk+1_iso(G, H)에 실수 해가 존재하면 Hom(F, G) = Hom(F, H)임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 그래프가 모든 나무에서 동일한 수의 호모모르피즘을 가지는 조건은 무엇이며, 색 강화 알고리즘과의 관계는 무엇인가요?
• RQ2 분수 이sov모르피즘과 나무에서의 호모모르피즘 수 사이의 정밀한 관계는 무엇인가요?
• RQ3 k차원 Weisfeiler-Leman 알고리즘은 이sov모르피즘 선형 프로그래밍의 k번째 수준의 Sherali-Adams 완화와 어떻게 관련이 있나요?
• RQ4 호모모르피즘 수와 Weisfeiler-Leman 강화 간의 등가성은 트리 폭 또는 경로 폭이 유계인 그래프로 확장될 수 있나요?
• RQ5 두 그래프가 나무 호모모르피즘 수에서 다를 경우를 결정하는 계산적으로 효율적인 방법이 존재하나요?

주요 결과

• 두 그래프 G와 H가 색 강화 알고리즘으로 구별 불가능할 때이고 그때에만 모든 나무 T에 대해 Hom(T, G) = Hom(T, H)이다.
• G와 H 사이에 분수 이sov모르피즘이 존재할 때이고 그때에만 색 강화로 이를 구별하지 못하며, 이는 모든 나무 T에 대해 Hom(T, G) = Hom(T, H)임과 동치이다.
• 트리 폭이 k인 그래프에 대해, k차원 Weisfeiler-Leman 알고리즘이 G와 H를 구별하지 못할 때이고 그때에만 트리 폭이 최대 k인 모든 그래프 F에 대해 Hom(F, G) = Hom(F, H)이다.
• Lk+1_iso(G, H)에 실수 해가 존재할 때이고 그때에만 경로 폭이 최대 k인 모든 그래프 F에 대해 Hom(F, G) = Hom(F, H)이다.
• 색 강화 결과를 확인하여 Hom(T, G) ≠ Hom(T, H)인 나무 T가 존재하는지 여부를 결정하는 준선형 시간 알고리즘이 존재한다.
• 경로 폭이 최대 k인 그래프에 대해, Lk+1_iso(G, H)에 실수 해가 존재하면, 모든 폭 k의 경로 분해 P를 가진 F에 대해 bIso((F, P), G) = bIso((F, P), H)이다.