[논문 리뷰] Low depth algorithms for quantum amplitude estimation

Tudor Giurgică-Tiron, Iordanis Kerenidis외 3명|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 06.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 회로 깊이와 오ракulum 호출 수 사이의 최적 트레이드오프를 달성하는 두 가지 저깊이 양자 알고리즘—파워 레인지 AE와 QoPrime AE—을 소개한다. 고전적 및 표준 양자 스케일링 사이를 보간함으로써, 근접한 노이지 중간 규모 양자(NISQ) 장치에서 몬테카를로 방법에 대한 실용적인 양자 가속을 가능하게 하며, 특히 노이즈 하에서 파워 레인지 AE가 뛰어난 경험적 성능을 보인다.

ABSTRACT

We design and analyze two new low depth algorithms for amplitude estimation (AE) achieving an optimal tradeoff between the quantum speedup and circuit depth. For $β\in (0,1]$, our algorithms require $N= ilde{O}( \frac{1}{ ε^{1+β}})$ oracle calls and require the oracle to be called sequentially $D= O( \frac{1}{ ε^{1-β}})$ times to perform amplitude estimation within additive error $ε$. These algorithms interpolate between the classical algorithm $(β=1)$ and the standard quantum algorithm ($β=0$) and achieve a tradeoff $ND= O(1/ε^{2})$. These algorithms bring quantum speedups for Monte Carlo methods closer to realization, as they can provide speedups with shallower circuits. The first algorithm (Power law AE) uses power law schedules in the framework introduced by Suzuki et al \cite{S20}. The algorithm works for $β\in (0,1]$ and has provable correctness guarantees when the log-likelihood function satisfies regularity conditions required for the Bernstein Von-Mises theorem. The second algorithm (QoPrime AE) uses the Chinese remainder theorem for combining lower depth estimates to achieve higher accuracy. The algorithm works for discrete $β=q/k$ where $k \geq 2$ is the number of distinct coprime moduli used by the algorithm and $1 \leq q \leq k-1$, and has a fully rigorous correctness proof. We analyze both algorithms in the presence of depolarizing noise and provide numerical comparisons with the state of the art amplitude estimation algorithms.

연구 동기 및 목표

• 표준 양자 평균 추정에서 높은 회로 깊이 문제를 해결함으로써, 근접한 노이지 중간 규모 양자(NISQ) 장치에서의 적용 가능성을 제한하는 문제를 다루기.
• 특히 몬테카를로 방법과 머신러닝 응용 분야에서, 양자 가속을 유지하면서도 회로 깊이를 줄이는 알고리즘 설계.
• 고전적($\beta=1$)과 표준 양자($\beta=0$) 스케일링 사이를 보간하는, 오라클 호출 수와 회로 깊이 사이의 트레이드오프를 확보.
• 특히 분해자 노이즈 하에서 실제 노이즈 조건 하에서도 엄밀한 정확성 보장이 가능하도록 하여 현재 하드웨어에서의 실용성 확보.
• IQAE와 같은 최첨단 알고리즘과의 성능 비교를 통해, 노이즈에 대한 강건성 향상과 자원 과잉 소비 감소를 입증.

제안 방법

• Suzuki 등의 프레임워크에 기반한 파워 레인지 AE를 제안하며, 오라클 호출 수와 깊이가 각각 $N = \tilde{O}(\epsilon^{-(1+\beta)})$ 및 $D = O(\epsilon^{-(1-\beta)})$로 스케일링되도록, 파워 레인지 스케줄을 사용한다. 여기서 $\beta \in (0,1]$이다.
• 소수 모듈러스를 사용해 다수의 저깊이 평균 추정치를 조합하는 기법을 적용한 QoPrime AE를 도입하며, 더 낮은 깊이로도 높은 정확도를 달성한다.
• 정수 $\beta = q/k$ 설정에서 완전히 엄밀한 증명을 통해 QoPrime AE의 이론적 정확성을 확보한다. 여기서 $k \geq 2$ 및 $1 \leq q \leq k-1$이다.
• 실패 확률를 제한하고 오라클 호출 수를 고정 정밀도로 추정하기 위해, 체르노프 경계와 정확한 이항 신뢰구간을 분석에 활용한다.
• 분해자 노이즈를 노이즈 바닥($\gamma$)으로 설정하여, 깊이가 $O(\gamma^{-1})$를 초과하지 않도록 하여, 지수적으로 감소하는 신뢰구간을 방지한다.
• 이론적 경계와 경험적 시뮬레이션을 통해 알고리즘 파라미터(예: $\beta$, $k$, $q$)를 최적화하여, 노이즈 하에서 오라클 호출 수와 깊이를 최소화한다.

Figure 1: Convergence of the coprime finding routine. The algorithm finds $k$ adjacent coprimes $n_{1}$ , $n_{2}$ , …, $n_{k}$ such that their product $N=n_{1}\dots n_{k}$ is close to $\pi/\epsilon$ . Both the smallest coprime $n_{1}$ (approaching 1 from below) and the largest coprime $n_{k}$ (appro

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실용적인 NISQ 장치에서 양자 가속을 유지하면서도 회로 깊이를 크게 줄일 수 있는가?
• RQ2 평균 추정에서 오라클 호출 수와 회로 깊이 사이의 최적 트레이드오프는 무엇이며, 이는 연속적인 $\beta$로 매개변수화될 수 있는가?
• RQ3 실제로 분해자 노이즈 하에서 제안된 알고리즘이 어떻게 작동하는가? 고깊이 알고리즘인 IQAE에서 관찰되는 지수적 과잉 소비를 피할 수 있는가?
• RQ4 중국의 나머지 정리가 양자 평균 추정에 효과적으로 적용되어 저깊이 추정치를 조합해 고정밀도 결과를 도출할 수 있는가?
• RQ5 오라클 호출 수와 깊이에 대한 이론적 경계가 노이즈 시뮬레이션에서 경험적 성능과 얼마나 일치하는가?

주요 결과

• 파워 레인지 AE 알고리즘은 $\beta \in (0,1]$에 대해 $N = \tilde{O}(\epsilon^{-(1+\beta)})$의 오라클 호출 수와 $D = O(\epsilon^{-(1-\beta)})$의 깊이를 달성하며, 고전적($\beta=1$)과 표준 양자($\beta=0$) 스케일링 사이를 보간한다.
• QoPrime AE 알고리즘은 정수 $\beta = q/k$ 설정에서 완전한 이론적 정확성 보장을 제공하며, 경험적 성능은 $\epsilon$과 노이즈 비율의 넓은 범위에서 일정한 계수 $C < 10$를 유지한다.
• 노이즈 비율 $\gamma$가 있는 분해자 노이즈 하에서, 두 알고리즘은 $\epsilon \ll \gamma$일 때 고전적 스케일링으로 부드럽게 전이되며, IQAE에서 관찰되는 오라클 호출 수의 지수적 증가를 피한다.
• 수치 시뮬레이션 결과, 파워 레인지 AE는 특히 노이즈 하에서 IQAE를 능가하는 실용적 성능을 보이며, 지수적 과잉 소비 없이 고전적 성능로 부드럽게 스케일링할 수 있다.
• QoPrime AE의 최대 오라클 깊이는 $O(\gamma^{-1})$로 제한되며, 정밀도가 노이즈로 인해 제한될 경우 과도한 깊이를 방지하여 지수적으로 증가하는 샘플 요구량을 방지한다.
• QoPrime AE의 오라클 호출 수에 대한 이론적 상한은 보수적이며, 정확한 이항 신뢰구간 계산이 체르노프 근사와 대비해 경험적 결과에서 더 뛰어난 성능을 보여준다.

Figure 2: The behavior of the oracle call dependency in ( 22 ) for several values of parameters $k$ and $q$ , and for fixed noise level $\gamma=10^{-5}$ and probability of failure $\delta=10^{-5}$ . When taking the minimum over the family of curves parametrized by all valid $k$ and $q$ (here assumed