[논문 리뷰] Low-depth unitary quantum circuits for dualities in one-dimensional quantum lattice models

Laurens Lootens, Clement Delcamp외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 11. 02.

Quantum and electron transport phenomena인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 보조 자유도를 도입하여 위상적 섹터를 추적함으로써, 낮은 깊이의 유니터리 양자 회로를 사용하여 일차원 양자 격자 모델에서 이중성을 구현하는 방법을 제시한다. 일반적인 이중성은 선형 깊이로 실현되며, 영항성 이중성은 측정을 포함한 적응형 회로를 통해 일정 깊이로 달성되어, 얽힌 상태의 효율적 준비와 금속 경계 간의 매핑을 가능하게 한다.

ABSTRACT

A systematic approach to dualities in symmetric (1+1)d quantum lattice models has recently been proposed in terms of module categories over the symmetry fusion categories. By characterizing the non-trivial way in which dualities intertwine closed boundary conditions and charge sectors, these can be implemented by unitary matrix product operators. In this manuscript, we explain how to turn such duality operators into unitary linear depth quantum circuits via the introduction of ancillary degrees of freedom that keep track of the various sectors. The linear depth is consistent with the fact that these dualities change the phase of the states on which they act. When supplemented with measurements, we show that dualities with respect to symmetries encoded into nilpotent fusion categories can be realised in constant depth. The resulting circuits can for instance be used to efficiently prepare short- and long-range entangled states or map between different gapped boundaries of (2+1)d topological models.

연구 동기 및 목표

• 유니터리 회로를 사용하여 (1+1)d 대칭 양자 격자 모델에서 이중성을 체계적으로 양자 회로로 실현하는 것.
• 고정 힐베르트 공간에서 이중성이 역행할 수 없는 문제를 해결하기 위해 보조 자유도를 도입하여 전하 섹터와 경계 조건을 추적하는 것.
• 보조 큐비트를 추가할 경우 이중성 연산자가 선형 깊이의 유니터리 회로로 실현될 수 있으며, 측정을 사용할 경우 일정 깊이로 구현될 수 있음을 보여주는 것.
• 아벨 대칭에 대한 이전의 구성들을 일반화하여 임의의 융합 분류체, 비아벨 및 영항성 경우까지 포함하는 것.
• 다양한 금속 경계 간의 매핑과 위상적으로 질서가 잡힌 상태의 준비를 통해 실제 양자 장치에서 이중성을 실현할 수 있도록 하는 것.

제안 방법

• 이중성을 분류하기 위해 대칭 융합 분류체 위의 모듈러 카테고리(모듈러 카테고리)를 사용하며, 이중성 연산자는 전하 섹터와 경계 조건을 연결하는 행렬 곱 연산자(MPO)로 실현된다.
• 위상적 섹터를 추적하기 위해 보조 자유도를 도입하여 MPO를 유니터리 양자 회로에 통합할 수 있도록 한다.
• 보조 큐비트에 섹터 정보를 인코딩하여 선형 깊이의 회로를 구성함으로써 전체 힐베르트 공간에서 이중성이 유니터리로 작용하도록 보장한다.
• 영항성 이중성의 경우, 측정과 고전적 통신을 포함한 적응형 양자 회로를 통해 깊이를 일정 수준으로 줄여, 상태를 특정 섹터로 투사할 수 있다.
• 융합 분류체의 객체로 표시된 대칭 티브스와 모듈러 함자들의 결합법칙을 활용하며, 측정을 통해 융합 경로를 추적하는 군 유사 변수를 업데이트한다.
• 회로 아키텍처는 대칭 및 병합 게이트를 순차적으로 적용하며, 각 단계에서 측정을 통해 대칭 스트랜드의 레이블을 업데이트하여 융합 규칙과 일관성을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 힐베르트 공간에서 이중성이 역행할 수 없는 문제에도 불구하고, (1+1)d 양자 격자 모델의 이중성은 어떻게 유니터리 양자 회로로 실현될 수 있는가?
• RQ2 일반적인 이중성 변환을 실현하기 위해 필요한 최소 회로 깊이는 얼마이며, 대칭 구조에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 측정과 고전적 통신이 허용될 경우 일정 깊이의 양자 회로로 이중성을 실현할 수 있으며, 어떤 조건에서 가능한가?
• RQ4 보조 자유도가 비유니터리 이중성 MPO에서 유니터리 회로를 구성하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ5 이 프레임워크는 (2+1)d 위상적 모델과 비아벨 anyon으로까지 얼마나 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• (1+1)d 양자 격자 모델의 이중성은 위상적 섹터와 경계 조건을 추적하는 보조 자유도를 도입함으로써 선형 깊이의 유니터리 양자 회로로 실현될 수 있다.
• 결과적으로 얻어진 회로는 전체 힐베르트 공간에서 이중성을 유니터리 변환으로 실현하며, 이중성 연산자는 섹터 기저에서 MPO의 선형 조합으로 작용한다.
• 이중성이 영항성 융합 분류체에 포함된 이중 대칭으로 표현되는 영항성 이중성의 경우, 측정과 고전적 통신을 포함한 적응형 회로를 통해 일정 깊이로 실현될 수 있다.
• 이 구성은 아벨 대칭에 대한 기존 결과를 일반화하며, 이러한 경우에 이전의 일정 깊이 회로를 재현한다.
• 이 방법은 짧은 범위와 긴 범위의 얽힌 상태를 효율적으로 준비하고, (2+1)d 위상적 모델에서 다양한 금속 경계 간의 매핑을 가능하게 한다.
• 이 프레임워크는 (2+1)d 위상적 위상으로까지 확장 가능하며, 양자 장치에서 이국적인 anyonic 위상을 실험적으로 실현할 수 있는 길을 제시한다.