[논문 리뷰] Low-lying zeros of quadratic Dirichlet $L$-functions: A transition in the Ratios Conjecture

Daniel Fiorilli, James Parks외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 18.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 17인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 제곱frei인 홀수의 8로 나누어지는 도수의 제곱근을 가진 2차 딜리클 L-함수의 가족에서 낮은 영점의 1레벨 밀도를 계산하기 위해 L-함수 비율 추측을 적용한다. 지원 끝점 σ = 1에서 주항 및 고차항이 급격히 변화하는 전이를 확인하였으며, 이는 카츠-사르낙 히ュ리스틱과 루딘의 함수체 결과와 일치한다. 또한 GRH 하에 테스트 함수의 푸리에 변환 지원이 σ < 2까지 가능할 때 유효한 점근 공식을 도출한다.

ABSTRACT

We study the $1$-level density of low-lying zeros of quadratic Dirichlet $L$-functions by applying the $L$-functions Ratios Conjecture. We observe a transition in the main term as was predicted by the Katz-Sarnak heuristic as well as in the lower order terms when the support of the Fourier transform of the corresponding test function reaches the point $1$. Our results are consistent with those obtained in previous work under GRH and are furthermore analogous to results of Rudnick in the function field case.

연구 동기 및 목표

• 제곱frei인 홀수의 8로 나누어지는 도수를 가진 2차 딜리클 L-함수의 가족에서 낮은 영점의 1레벨 밀도를 분석한다.
• 테스트 함수의 푸리에 변환의 지원이 σ = 1에 도달할 때 밀도 공식의 행동을 조사한다. 이 시점에서 단계 전이가 예측된다.
• 이전의 GRH 기반 점근 공식을 개선하여 J(X) 항과 고차항을 더 정교하게 다루는 것을 목적으로 한다.
• 카츠-사르낙 히ュ리스틱과 루딘의 함수체 결과와의 일치를 확인하기 위해, σ = 1에서 주항 및 고차항의 전이를 규명한다.

제안 방법

• L-함수 비율 추측을 사용하여 2차 딜리클 L-함수의 가족 F*(X)에서 낮은 영점의 1레벨 밀도를 예측한다.
• 비율 추측을 적용하여 GRH 하에 σ < 2에서 유효한 1/log X의 거듭제곱에 대한 점근 전개를 유도한다.
• 메린 변환 기법과 경로 적분을 사용하여 J(X) 항을 계산하며, γ, ζ′(2)/ζ(2), 그리고 가중 함수 w의 메린 변환의 로그 미분을 포함한 명시적 상수를 가진 1/L 항이 기여하는 것으로 보여준다.
• 테스트 함수의 푸리에 변환을 포함한 적분의 세밀한 점근 분석을 수행하여 주항 및 고차항의 기여를 분리한다.
• 경로 변형과 레지듀 정리를 사용하여 φ(τ)/τ 및 e^{-2πiτ}를 포함한 진동적 적분을 평가하며, 이를 카츠-사르낙 예측과 연결한다.
• 오차 항을 O_ε(X^{σ/6 - 1/3 + ε}) 및 O_ε(X^{-1/2 + ε})로 확립하여 테스트 함수의 지원에 대해 균일성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 테스트 함수의 푸리에 변환의 지원이 σ = 1에 도달할 때, 제곱frei인 홀수의 8로 나누어지는 도수를 가진 2차 딜리클 L-함수의 가족에서 낮은 영점의 1레벨 밀도는 어떻게 행동하는가?
• RQ2 비율 추측은 카츠-사르낙 히ュ리스틱과 일치하는 바, σ = 1에서 주항 및 고차항의 단계 전이를 예측하는가?
• RQ3 점근 전개에서 J(X) 항이 명시적으로 계산되어, 특정 산술 상수를 가진 1/L 항으로 기여하는가?
• RQ4 1레벨 밀도의 고차항이 카츠-사르낙 히ュ리스틱과 루딘의 함수체 결과 예측과 어느 정도 일치하는가?
• RQ5 GRH 하에 유도된 점근 공식은 σ < 2일 때 이전 결과와 비교해 볼 때, 1/L 및 O(1/L²) 항의 구조 측면에서 어떻게 다를까?

주요 결과

• 가족 F*(X)의 1레벨 밀도는 테스트 함수의 푸리에 변환, w의 메린 변환의 로그 미분, 그리고 γ 및 ζ′(2)/ζ(2)와 관련된 명시적 상수를 포함한 점근 공식으로 주어진다.
• 주항 및 고차항에서 모두 σ = 1에서 급격한 전이가 발생하며, 이는 푸리에 변환의 지원이 임계점에 도달할 때 발생한다. 이는 카츠-사르낙 예측을 확인한다.
• J(X) 항은 계수 −log(2^{7/3} e^{1+γ}) + 2ζ′(2)/ζ(2) − Mw′(1)/Mw(1)를 가진 1/L 항으로 기여하며, 이는 경로 적분과 메린 변환 분석을 통해 명시적으로 도출된다.
• X → ∞의 극한에서 1레벨 밀도 공식은 카츠-사르낙 예측 ∫φ̂(0) − 1/2 ∫_{-1}^1 φ̂(u) du 와 일치하며, σ = 1에서의 전이가 고차항의 구조에 반영된다.
• 오차 항은 O_ε(X^{σ/6 − 1/3 + ε})이며, 이는 이전의 한계를 향상시키며 테스트 함수의 지원에 대해 균일하다.
• 유도 과정은 루딘의 함수체 결과 및 이전의 GRH 기반 연구와의 일치를 확인한다. 특히 1/L 항의 행동과 가중 함수의 메린 변환의 역할 측면에서 일致성이 확인된다.