[논문 리뷰] Low-order continuous finite element spaces on hybrid non-conforming hexahedral-tetrahedral meshes

Maxence Reberol, Bruno Lévy|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 09.

Computational Geometry and Mesh Generation참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 삼차형 육면체의 비평면 면과 일치시키기 위해 삼각형 요소에 대해 2차 매핑을 사용하고, 연속성 조건을 2차 라그랑주 기저 함수를 통해 강제함으로써 하이브리드 비일치성 있는 육면체-삼각형 메시에서 $C^0$-연속적인 유한요소 공간을 구성하는 방법을 제안한다. 이 방법은 순수 육면체 메시 수준의 정확도를 달성하며 선형 삼각형 메시보다도 훨씬 뛰어난 성능을 보이며, 완전한 육면체 메시 생성이 어려운 복잡한 기하 구조에 대해 강력한 대안을 제공한다.

ABSTRACT

This article deals with solving partial differential equations with the finite element method on hybrid non-conforming hexahedral-tetrahedral meshes. By non-conforming, we mean that a quadrangular face of a hexahedron can be connected to two triangular faces of tetrahedra. We introduce a set of low-order continuous (C0) finite element spaces defined on these meshes. They are built from standard tri-linear and quadratic Lagrange finite elements with an extra set of constraints at non-conforming hexahedra-tetrahedra junctions to recover continuity. We consider both the continuity of the geometry and the continuity of the function basis as follows: the continuity of the geometry is achieved by using quadratic mappings for tetrahedra connected to tri-affine hexahedra and the continuity of interpolating functions is enforced in a similar manner by using quadratic Lagrange basis on tetrahedra with constraints at non-conforming junctions to match tri-linear hexahedra. The so-defined function spaces are validated numerically on simple Poisson and linear elasticity problems for which an analytical solution is known. We observe that using a hybrid mesh with the proposed function spaces results in an accuracy significantly better than when using linear tetrahedra and slightly worse than when solely using tri-linear hexahedra. As a consequence, the proposed function spaces may be a promising alternative for complex geometries that are out of reach of existing full hexahedral meshing methods.

연구 동기 및 목표

• 삼차형 육면체와 삼각형 요소가 비평면 면을 공유하는 하이브리드 비일치성 있는 육면체-삼각형 메시에서 연속적인 유한요소 공간을 구성하는 데 도전하는 것.
• 삼차형 육면체와 선형 삼각형 요소 사이의 비일치성 있는 인터페이스에서 발생하는 기하학적 및 기능적 불연속성을 해결하는 것.
• 순수 육면체 요소로 생성하기 어려운 육면체 우세 메시에서 고정확도의 유한요소 해를 가능하게 하는 것.
• 피라미드 요소에 의존하지 않고, 비일치성 있는 육면체-삼각형 인터페이스에서 $C^0$ 연속성 강제를 위한 공식적이고 수학적으로 타당한 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 삼차형 육면체의 비평면 4각형 면과 정확히 일치시키기 위해 삼각형 요소에 대해 2차 등각 매핑을 사용하여 기하학적 연속성을 확보한다.
• 삼각형 요소에 2차 라그랑주 유한요소 ($\mathbb{P}_2$)를 적용하여 삼차형 육면체 요소 ($\mathbb{Q}_1$)의 함수 공간과 인터페이스에서 일치시킨다.
• 비일치성 있는 접합부에서 $C^0$ 연속성인 전역 유한요소 함수 공간을 강제하기 위한 제약 조건을 부과한다.
• 삼각형 요소의 함수 기저를 단순형 좌표와 모서리 중점에 기반하여 정의하여 정점과 모서리 중점에서의 보간을 보장한다.
• 기준 요소 접근법을 적용: 모든 요소를 기준 삼각형 요소 ($\hat{T}$)와 기준 육면체 요소 ($\hat{Q}$)로 매핑하여 기저 함수와 제약 조건을 표준화한다.
• 공유 인터페이스의 점들, 특히 정점과 모서리 중점에서 함수 값과 기울기를 일치시켜 연속성 조건을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기하학적 연속성과 기능적 연속성을 확보할 수 있는 비일치성 있는 육면체-삼각형 메시에서 $C^0$ 연속적인 유한요소 공간을 구성할 수 있는가?
• RQ2 육면체의 4각형 면이 비평면일 때, 그 면이 두 개의 삼각형 요소와 연결되어 있을 경우 기하학적 연속성을 어떻게 확보할 수 있는가?
• RQ3 비일치성 있는 육면체-삼각형 인터페이스에서 유한요소 함수가 연속성을 유지하기 위해 필요한 제약 조건은 무엇인가?
• RQ4 결과로 도출된 함수 공간은 순수 육면체 메시 수준의 정확도를 달성할 수 있으며, 동시에 순수 삼각형 메시보다 더 유연한가?
• RQ5 적절한 연속성 제약 조건을 통해 직접 육면체와 삼각형 요소를 연결함으로써 피라미드 요소를 피할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 삼각형 요소에 대해 2차 매핑을 사용하여 삼차형 육면체의 비평면 면과 정확히 일치시킴으로써 기하학적 연속성을 확보한다.
• 정점과 모서리 중점에서의 제약 조건을 통해 삼각형 요소에 2차 라그랑주 기저 함수를 적용하여 기능적 연속성을 강제한다. 이는 삼차형 육면체 기저와 일치시킨다.
• 포isson 문제와 선형 탄성 문제에 대한 수치 실험 결과, 선형 삼각형 요소보다 훨씬 뛰어난 정확도를 보이며, 순수 삼차형 육면체 메시에 비해 略히 낮은 정확도를 보였다.
• 이 방법은 산발적인 비일치성 접합부를 가진 육면체 우세 메시의 사용을 가능하게 하여, 국소적 전이 층을 사용하는 것보다 더 복잡한 기하 구조에 적합하다.
• 피라미드 요소를 사용하지 않고도 비일치성 있는 메시에서 $C^0$ 연속성을 수학적으로 일관되게 확보할 수 있는 공식적 프레임워크를 제공한다.