[논문 리뷰] Low Order Finite Element Methods for the Navier-Stokes-Cahn-Hilliard Equations

Aleksander Lovrić, Wulf G. Dettmer외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 15.

Solidification and crystal growth phenomena참고 문헌 73인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 표면장력 효과를 상ases와 분리하여 독립적으로 제어할 수 있도록, 나비에-스토크스-카인-힐리아드 방정식에 대한 두 가지 저차수 유한요소 형식을 제안한다. 첫 번째 형식은 계산 효율성을 위해 안정화된 SUPG/PSPG 선형 요소를 사용하며, 두 번째 형식은 정확도를 높이기 위해 혼합 타일러후드 요소를 사용한다. 두 형식 모두 표면장력 유무에 관계없이 기준 솔루션을 정확히 재현하며, 수치적 안정성과 보존 성질을 확인한다.

ABSTRACT

A computationally efficient, low order finite element formulation is developed for modelling the Navier-Stokes-Cahn-Hilliard equations, which have been established as a promising phase field modelling approach for simulation of immiscible multiphase flows. The present study suggests that traditional Navier-Stokes-Cahn-Hilliard models do not allow for surface tension effects to be neglected due to the presence of the surface tension parameter in the Cahn-Hilliard equation. This motivates the proposed formulation, which allows surface tension effects to be changed without affecting the behaviour of the phase transport. Two methods are proposed: The first uses stabilised SUPG/PSPG linear elements, while the second is based on mixed Taylor-Hood elements. The proposed models are applied to a number of benchmark and example problems, including both capillary regime in which surface tension effects are dominant, and inertial regime in which surface tension effects are negligibly small. All results obtained agree very well with reference solutions.

연구 동기 및 목표

• 기존의 나비에-스토크스-카인-힐리아드 모델에서 표면장력을 끄면 수치적 불안정성이 발생하는 한계를 해결하기 위해.
• 표면장력 효과를 제로로 설정해도 상 운동 행동에 영향을 주지 않는 계산 효율적인 유한요소 형식을 개발하기 위해.
• 저차수 요소를 사용하여 표면장력 주도 및情성 주도 유동을 모두 정확하고 안정적으로 시뮬레이션하기 위해.
• 기존 기준 솔루션, 표면장력 유무에 관계없이 시험하기 위해.
• 부피 보존성과 ALE 기반 시뮬레이션과의 일치성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 안정화된 SUPG/PSPG 형식을 등차수 선형 요소에 적용하여 저차수 요소를 사용할 때도 안정적인 해를 확보하고 계산 효율성을 향상시킨다.
• 비교 정확도를 높이고 안정화 형식을 검증하기 위해 혼합 타일러후드 요소를 고차수 대안으로 사용한다.
• 표면장력 계수를 상 방정식에서 제거하여 표면장력 효과를 분리함으로써, 표면장력을 제로로 설정해도 수치적 문제 없이 가능하도록 Cahn-Hilliard 방정식을 수정한다.
• 기본 형식으로 Abels 등이 제안한 열역학적으로 일관된 모델을 채택하고, 표면장력을 비활성화할 수 있도록 수정한다.
• 표면장력이 0일 경우 수치적 안정성을 유지하기 위해 이동도 계수를 $ D = 10^{-3} $ 으로 증가시킨다.
• 시간 적분과 공간 이산화를 캡릴라리 및 관성 영역을 포함한 기준 문제 전반에 일관되게 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표면장력 효과가 Cahn-Hilliard 방정식에서 효과적으로 비활성화될 수 있는가? 이 과정에서 수치적 불안정성이 발생하는가?
• RQ2 표면장력이 0으로 설정되었을 때도 제안된 형식이 정확한 상 운동과 부피 보존성을 유지하는가?
• RQ3 저차수 안정화 유한요소와 혼합 타일러후드 요소 간에 나비에-스토크스-카인-힐리아드 시뮬레이션에서 정확도와 계산 효율성 측면에서 어떤 차이가 있는가?
• RQ4 제안된 형식이 표면장력 주도 및 관성 주도 흐름 영역 모두에서 기준 솔루션을 얼마나 정확히 재현하는가?
• RQ5 표면장력 제거 시에도 수정된 형식이 에너지 안정성과 물리적 일관성을 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 선형 등차수 요소를 사용하는 안정화된 SUPG/PSPG 형식은 나비에-스토크스-카인-힐리아드 방정식의 안정적이고 효율적인 해를 제공하여 계산 성능을 크게 향상시킨다.
• 수정된 형식은 표면장력을 제로로 설정해도 수치적 문제 없이 작동하며, 표면장력 효과가 상 운동에서 분리될 수 있음을 확인한다.
• 표면장력이 0인 레일리-테일러 불안정성 사례에서 구르몬드와 콰르타펠레의 기준 솔루션과 거의 일치하는 결과를 도출하였으며, 경계면 위치는 기준과 거의 구분되지 않았다.
• 표면장력 유무에 관계없이 모든 시험 케이스에서 두 유체 상의 부피 보존성이 매우 정확하게 유지되었다.
• 안정화된 선형 요소 형식은 혼합 타일러후드 형식과 거의 일치하는 결과를 도출하여, 낮은 차수임에도 불구하고 정확도가 검증됨을 입증한다.
• 표면장력 주도 및 관성 주도 영역 모두에서 기준 솔루션을 정확히 재현함으로써, 다양한 흐름 영역에서의 강건성을 확인한다.