[논문 리뷰] Low rank approximations of symmetric polynomials and asymptotic counting of contingency tables

Alexander Barvinok|ArXiv.org|2005. 03. 08.

Markov Chains and Monte Carlo Methods참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 주어진 행 및 열 합을 가진 $m \times n$ 교차표의 수를 근사하기 위한 확률적 방법을 제안한다. 이 방법은 행렬의 지수 분포를 가진 난수 요소를 가진 행렬의 영상 기대값으로 수를 표현함으로써, 행과 열 합이 유계일 경우 추정기의 분산이 충분히 작아서 다항시간 근사체계(PTAS)를 도출할 수 있음을 증명한다. 또한 대칭다항식이 선형형식의 거듭제곱의 낮은 랭크 합으로 효율적으로 근사될 수 있음을 보이며, 이는 행합이 유계일 경우의 하위지수적 알고리즘을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We represent the number of mxn non-negative integer matrices (contingency tables) with prescribed row sums and column sums as the expected value of the permanent of a non-negative random matrix with exponentially distributed entries. We bound the variance of the obtained estimator, from which it follows that if the row and column sums are bounded by a constant fixed in advance, we get a polynomial time approximation scheme for counting contingency tables. We show that the complete symmetric polynomial of a fixed degree in n variables can be epsilon-approximated coefficient-wise by a sum of powers of O(log n) linear forms, from which it follows that if the row sums (but not necessarily column sums) are bounded by a constant, there is a deterministic approximation algorithm of m^{O(log n)} complexity to compute the logarithmic asymptotic of the number of tables.

연구 동기 및 목표

• 지정된 행 및 열 합을 가진 $m \times n$ 교차표의 수를 효율적으로 근사하는 알고리즘을 개발한다.
• 두 차원이 모두 증가할 때 정확한 수세기 계산의 어려움을 다루며, 특히 합이 중간 크기일 경우를 고려한다.
• 대칭다항식이 낮은 랭크로 선형형식의 거듭제곱의 합으로 근사될 수 있음을 보이며, 이를 통해 계산을 효율적으로 수행할 수 있음을 보인다.
• 행 및 열 합이 유계일 경우 다항시간 근사체계(PTAS)를 확립한다.
• 행합만 유계일 경우, 로그적 점근적 수를 $m^{O(\log n)}$ 시간 내에 결정적 알고리즘으로 계산한다.

제안 방법

• 행렬의 영상 기대값으로 교차표 수를 표현하기 위해, i.i.d. 지수 분포를 가진 난수 요소를 가진 행렬의 영상 기대값으로 표현한다.
• 다항식의 스칼라곱을 사용하여 관심 있는 계수를 내적 행렬의 영상으로 표현한다.
• $\mathbb{E}[\alpha^2]$와 $\mathbb{E}[\alpha]^2$의 항들을 비교하여 추정기의 분산을 유계화하며, 그 비율이 최대 $2^{2N}$임을 보인다.
• 모든 $r_i, c_j \leq \rho$일 경우, 표본 수가 상대 오차가 작은 범위 내에서 근사됨을 증명하여 PTAS를 도출한다.
• 지수 모멘트의 성질을 활용하여, 고정된 차수 $r$에 대해 $n$개 변수의 완전 대칭다항식 $h_r$을 $O(\log n)$개의 선형형식 거듭제곱의 합으로 $\epsilon$-근사할 수 있음을 보인다.
• 모노미얼의 스칼라곱이 내적 행렬의 영상에 해당함을 이용하여, 영상 계산을 통해 효율적인 계산이 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 행 및 열 합이 유계일 경우, 교차표의 수를 효율적으로 근사할 수 있는가?
• RQ2 지수 난수 변수를 사용한 영상 기반 추정기의 분산은 얼마인가?
• RQ3 고정된 차수의 완전 대칭다항식은 선형형식의 거듭제곱의 합으로 효율적으로 근사될 수 있는가?
• RQ4 대칭다항식의 낮은 랭크 근사는 교차표 수세기의 하위지수적 알고리즘을 이끌 수 있는가?
• RQ5 행합만 유계일 경우, 교차표 수의 로그 점근적 행동은 어떻게 되는가?

주요 결과

• 모든 행 및 열 합이 상수 $\rho$ 이하일 경우, 제안된 추정기는 분산이 충분히 작아 다항시간 근사체계(PTAS)를 도출할 수 있다.
• 영상 추정기의 분산은 기대값의 제곱에 비해 최대 $2^{2N}$ 배 이내로 유계화되어 있으며, 이는 농도 보장이 가능하다.
• 고정된 차수 $r$에 대해, $n$개 변수의 완전 대칭다항식 $h_r$은 $O(\log n)$개의 선형형식 거듭제곱의 합으로 계수 기반 $\epsilon$-근사가 가능하다.
• 행합만 유계일 경우, 결정적 알고리즘이 $m^{O(\log n)}$ 시간 내에 표본 수의 로그 점근적 수를 계산할 수 있다.
• 교차표 수는 유계 경계 조건 하에서 점근적으로 $\frac{N!}{r_1! \cdots r_m! \, c_1! \cdots c_n!} \exp\left(\frac{2}{N^2} \sum_{i,j} \binom{r_i}{2} \binom{c_j}{2}\right)$로 표현되며, 상대 오차는 $O(N^{-1})$이다.
• 이 방법은 대칭다항식, 영상, 지수 모멘트 생성함수 간의 연결 고리를 확립하며, 낮은 랭크 분해를 통한 효율적 근사가 가능하다.