[논문 리뷰] Low Regularity Exponential-Type Integrators for Semilinear Schrödinger Equations

Alexander Ostermann, Katharina Schratz|Repository KITopen (Karlsruhe Institute of Technology)|2016. 03. 24.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 반선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 $H^r$에서 수렴성을 확보하는 새로운 1차 지수형 적분법을 제안한다. 이는 해가 $H^{r+1}$에 속할 경우에만 추가로 한 개의 도함수만 요구하며, 기존 방법에 비해 훨씬 낮은 정규성 조건을 필요로 한다. 이 방법은 비틀린 변수 표현과 $φ_1$-함수를 이용한 강성 항의 정확한 통합을 통해, 낮은 정규성 해에 대해서도 최적의 수렴성을 달성한다.

ABSTRACT

We introduce low regularity exponential-type integrators for nonlinear Schrödinger equations for which first-order convergence only requires the boundedness of one additional derivative of the solution. More precisely, we will prove first-order convergence in H$^r$ for solutions in H$^r$$^+$$^1$ (r > d/2) of the derived schemes. This allows us lower regularity assumptions on the data than for instance required for classical splitting or exponential integration schemes. For one dimensional quadratic Schrödinger equations we can even prove first-order convergence without any loss of regularity. Numerical experiments underline the favorable error behavior of the newly introduced exponential-type integrators for low regularity solutions compared to classical splitting and exponential integration schemes.

연구 동기 및 목표

• 반선형 슈뢰딩거 방정식에 대한 고전적 분할법 및 지수 적분법이 요구하는 높은 정규성 조건을 해결하기 위해.
• 해의 정규성 조건을 최소화한 상태에서 1차 수렴성을 유지하는 시간 적분법을 개발하기 위해.
• 고전적 방법에서 요구하는 두 개의 추가 도함수에서 한 개로 정규성 요구 조건을 감소시키기 위해.
• 비연속적 또는 낮은 정규성 해에 대해 수치 실험을 통해 우수한 수렴 특성을 보여주기 위해.
• 특히 낮은 정규성 영역에서 지수 적분법의 적용 가능성을 확장하기 위해.

제안 방법

• 강성 있는 선형 진동을 비선형 항과 분리하기 위해 $v(t) = e^{-it\Delta}u(t)$인 비틀린 변수에 대해 두마를 공식을 적용한다.
• 주요 비선형 항인 $\overline{u}^{2p}$는 $\varphi_1$-함수를 사용해 정확히 처리하며, 이는 $\varphi_1(z) = (e^z - 1)/z$로 정의된다. 이를 통해 구조와 정확도를 유지한다.
• 적분법은 $u^{n+1} = e^{i\tau\Delta}\left[u^n - i\mu\tau (u^n)^{p+1} \varphi_1(-2i\tau\Delta)(\overline{u^n})^p\right]$로 구성되며, 이는 1차 수렴성을 보장한다.
• 두마를 공식의 적분을 근사하지 않고 강성 부분을 정확히 풀어 국소 절단 오차를 감소시킨다.
• 해가 $H^{r+1}$-정규성을 가지는 조건 하에 $r > d/2$인 $H^r$-노름에서 분석이 수행되었으며, 이는 해의 $H^{r+1}$-정규성 조건 하에 수렴성이 증명되었다.
• 부드럽고 비부드러운 초기 자료를 사용하여 수치적 검증을 수행하였으며, 리 에이드 분할법, 스트랑 분할법, 고전적 지수 적분법과 비교하였다.

Figure 1: Initial values ( 42 ) normalized in $L^{2}$ for two different values of $\vartheta$ . Left: $\vartheta=\frac{3}{2}$ . Right: $\vartheta=5$ .

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 $H^r$ 공간에 속하는 해에 대해 추가로 한 개의 도함수만 요구하는 1차 지수 적분법을 구성할 수 있는가?
• RQ2 낮은 정규성 해에 대해서도 제안된 적분법이 1차 수렴성을 유지하는가? 특히 고전적 방법이 수렴 차수 감소를 겪는 경우에 대해.
• RQ3 비연속적 또는 낮은 정규성 초기 자료에 대해, 새로운 적분법이 고전적 분할법 및 지수 적분법에 비해 정확도와 수렴 속도에서 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ4 비정수 거듭제곱 $p$를 가진 비선형성 $|u|^{2p}u$에 대해서도 새로운 적분법이 최적의 수렴성을 유지할 수 있는가? 특히 비선형성이 부드럽지 않은 경우에 대해.
• RQ5 작은 비선형성, 예를 들어 이차 슈뢰딩거 방정식에서와 같이 비선형 계수가 작을 경우에도 방법이 안정적이고 수렴성이 유지되는가?

주요 결과

• 제안된 지수형 적분법은 해가 $H^{r+1}$에 속할 경우 $H^r$에서 1차 수렴성을 확보하며, 고전적 방법이 요구하는 두 개의 추가 도함수 대비 한 개의 도함수만 요구한다.
• 일차원 이차 슈뢰딩거 방정식($p=1$)의 경우, 방법은 정규성 손실 없이 1차 수렴성을 달성한다.
• 비연속 초기 자료를 사용한 수치 실험에서 고전적 지수 적분법은 수렴하지 못했으며, 리/스트랑 분할법은 강한 수렴 차수 감소로 인해 수렴 차수 1/2에 머물렀다.
• 비연속 해에 대해서도 새로운 적분법은 이론적 예측과 수치 결과에 따라 1차 수렴성을 유지한다.
• 비정수 거듭제곱 $p$에 대해서도 새로운 적분법은 $p = 1/4$까지 1차 수렴성을 유지하지만, 고전적 분할법은 상당히 악화된다.
• 작은 비선형성($\mu = 0.01$)의 경우에도 새로운 적분법은 부드럽고 비부드러운 자료 모두에서 매우 정확하고 1차 수렴성을 유지하며, 고전적 방법을 능가한다.

Figure 2: Error in the energy space $H^{1}$ of the Lie splitting ( 38 ) (blue, dotted circle), Strang splitting ( 39 ) (magenta, star), classical exponential integrator ( 40 ) (green, dashed) and exponential-type integration scheme ( 25 ) (red, dash dotted). Left picture: $H^{3/2}$ solutions. Right