[논문 리뷰] Low-Signal-Energy Asymptotics of Capacity and Mutual Information for the Discrete-Time Poisson Channel

Alfonso García Martínez|ArXiv.org|2008. 08. 20.

Wireless Communication Security Techniques참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 추가 희귀 또는 기하 분포 잡음이 있는 이산시간 포아송 채널에 대해 신호 에너지가 낮을 때 상호정보량과 용량의 점근적 성격을 유도한다. 낮은 에너지에서 상호정보량은 $-\varepsilon_s \log \varepsilon_s$ 비례로 증가하며, 희귀 잡음 하에서는 비트당 최소 에너지가 0이고 기하 잡음 하에서는 $\varepsilon_n \log 2$이며, 고정된 신호 집합은 이 한계에 도달하지 못한다.

ABSTRACT

The first terms of the low-signal-energy asymptotics for the mutual information in the discrete-time Poisson channel are derived and compared to an asymptotic expression of the capacity. In the presence of non-zero additive noise (either Poisson or geometric), the mutual information is concave at zero signal-energy and the minimum energy per bit is not attained at zero capacity. Fixed signal constellations which scale with the signal energy do not attain the minimum energy per bit. The minimum energy per bit is zero when additive Poisson noise is present and $\ew\log 2$ when additive geometric noise of mean $\ew$ is present.

연구 동기 및 목표

• 고정된 신호 집합이 저신호 에너지 영역에서 채널 용량과 상호정보량 사이의 격차를 정량화하는 것.
• 신호 에너지 $\varepsilon_s \to 0$일 때 상호정보량과 용량의 점근적 행동을 규명하는 것.
• 고정된 신호 집합이 추가 잡음이 있는 포아송 채널에서 비트당 최소 에너지를 달성할 수 있는지 분석하는 것.
• 희귀 및 기하 잡음 모델에 대한 비트당 최소 에너지를 계산하는 것.

제안 방법

• 포아송 및 기하 분포의 확률 분포에 대해 로그 함수와 모멘트 생성 함수의 타일러 전개를 사용하여 상호정보량의 점근적 전개를 도출한다.
• 상호정보량 표현식 내의 발산 항을 $\varepsilon_s = 0$ 근처에서 편미분 기법을 적용하여 전개하고 $\mathcal{O}(\varepsilon_s^2)$ 항까지 유지한다.
• 측도 변화 기법을 적용하여 상호정보량을 출력 확률과 입력 분포의 합으로 표현한다.
• 발산 $D(Q(y|x) \| Q(y|x=0))$의 이阶 전개를 계산하여 저 $\varepsilon_s$에서 상호정보량의 곡률을 캡처하고, 영 에너지에서의 오목성(concavity)을 드러낸다.
• 플래시 신호 전송과 $p = \varepsilon_s$ 또는 $p = -\varepsilon_s \log \varepsilon_s$인 이진 변조의 상황에서 상호정보량의 행동을 분석하여 용량의 상한을 구한다.
• 무잡음 경우에 대해 용량의 점근적 형태를 $\text{C}(\varepsilon_s) = -\varepsilon_s \log \varepsilon_s + o(-\varepsilon_s \log \varepsilon_s)$로 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 신호 집합의 상호정보량은 저신호 영역에서 신호 에너지 $\varepsilon_s$에 대해 어떻게 비례하는가?
• RQ2 이산시간 포아송 채널에서 $\varepsilon_s \to 0$일 때 채널 용량의 점근적 행동은 어떠한가?
• RQ3 추가 희귀 또는 기하 잡음이 존재할 때 포아송 채널의 비트당 최소 에너지는 0이 되는가 아니면 유계로 유지되는가?
• RQ4 고정된 신호 집합은 저신호 영역에서 비트당 최소 에너지를 달성할 수 있는가?
• RQ5 추가 잡음이 존재할 때 영 에너지에서 상호정보량은 오목한가?

주요 결과

• 무잡음 이산시간 포아송 채널의 용량은 $\varepsilon_s \to 0$일 때 점근적으로 $\text{C}(\varepsilon_s) = -\varepsilon_s \log \varepsilon_s + o(-\varepsilon_s \log \varepsilon_s)$로 행동한다.
• 추가 잡음이 존재할 때 고정된 신호 집합의 상호정보량은 영 에너지에서 오목하므로 비트당 최소 에너지가 0이 아님을 의미한다.
• 추가 희귀 잡음이 존재할 경우 비트당 최소 에너지는 0이다. 이는 채널 전이 확률의 발산 구조 때문이기 때문이다.
• 평균 $\varepsilon_n$의 추가 기하 잡음이 존재할 경우 비트당 최소 에너지는 $\varepsilon_n \log 2$이며, 이는 상호정보량의 이阶 전개에서 유도된다.
• 신호 에너지 $\varepsilon_s$에 따라 스케일링되는 고정된 신호 집합은 최소 에너지를 달성하지 못한다. 왜냐하면 그들의 상호정보량이 최적의 점근적 비율보다 느리게 증가하기 때문이다.
• 이산시간 포아송 채널의 단위 비용당 용량은 무한대이다. 왜냐하면 영 에너지 기호가 존재하기 때문에 $\text{C}_1 = \sup_{\varepsilon_s} \text{C}(\varepsilon_s)/\varepsilon_s = \infty$이기 때문이다.