[논문 리뷰] Lower bound on expected communication cost of quantum Huffman coding

Anurag Anshu, Ankit Garg외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 15.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 양자 허프만 부호화의 기대 통신 비용에 하한을 설정하여, 상호작용 통신이 있더라도 한 번의 시행에서의 양자 압축률이 바르트만 엔트로피로 주어지는 점근적 양자 압축률을 달성할 수 없다는 것을 증명한다. 이 결과는 고전적 및 양자 한 번의 시행 압축 간의 근본적인 격차를 드러내며, 양자 통신 복잡도 및 한 번의 시행 양자 반전 샤논 정리에 대한 영향을 미친다.

ABSTRACT

Data compression is a fundamental problem in quantum and classical information theory. A typical version of the problem is that the sender Alice receives a (classical or quantum) state from some known ensemble and needs to transmit them to the receiver Bob with average error below some specified bound. We consider the case in which the message can have a variable length and the goal is to minimize its expected length. For classical messages this problem has a well-known solution given by Huffman coding. In this scheme, the expected length of the message is equal to the Shannon entropy of the source (with a constant additive factor) and the scheme succeeds with zero error. This is a single-shot result which implies the asymptotic result, viz. Shannon's source coding theorem, by encoding each state sequentially. For the quantum case, the asymptotic compression rate is given by the von-Neumann entropy. However, we show that there is no one-shot scheme which is able to match this rate, even if interactive communication is allowed. This is a relatively rare case in quantum information theory when the cost of a quantum task is significantly different than the classical analogue. Our result has implications for direct sum theorems in quantum communication complexity and one-shot formulations of Quantum Reverse Shannon theorem.

연구 동기 및 목표

• 한 번의 시행에서의 양자 압축 방식이 바르트만 엔트로피로 주어진 점근적 양자 압축률을 달성할 수 있는지 조사하는 것.
• 상호작용 통신이 고전적 및 양자 한 번의 시행 압축 성능 간 격차를 메울 수 있는지 여부를 판단하는 것.
• 변형 길이 부호화 방식에서의 양자 통신 비용에 대한 근본적인 제약을 설정하는 것.
• 양자 통신 복잡도에서의 직접 합 정리에 대한 영향을 탐색하는 것.
• 압축의 맥락에서 한 번의 시행 양자 반전 샤논 정리의 타당성을 검토하는 것.

제안 방법

• 유한 평균 오차를 가진 변형 길이 부호화 하에서 양자 허프만 부호화의 기대 통신 비용을 분석하는 것.
• 한 번의 시행에서의 양자 압축 비용을 바르트만 엔트로피로 주어진 점근적 비율과 비교하는 것.
• 정보이론적 기법을 사용하여 한 번의 시행 영역에서의 기대 통신 비용에 하한을 도출하는 것.
• 상호작용 통신 프로토콜이 압축 비용에 미치는 영향을 고려하여, 이러한 프로토콜이 격차를 메우지 못함을 보여주는 것.
• 양자 정보 이론의 결과를 적용하여 한 번의 시행 설정에서 점근적 비율을 따라잡는 것이 불가능함을 보여주는 것.
• 양자 상태와 집합의 구조적 성질에 의존하여 하한을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 한 번의 시행에서의 양자 허프만 부호화가 바르트만 엔트로피로 정의된 점근적 압축률을 달성할 수 있는가?
• RQ2 상호작용 통신이 양자 한 번의 시행 방식이 점근적 압축률을 따라잡는 데 도움이 되는가?
• RQ3 양자 변형 길이 부호화의 기대 통신 비용에 대한 근본적인 하한은 무엇인가?
• RQ4 엔트로피 일치 측면에서 한 번의 시행 양자 압축 비용은 고전적 허프만 부호화와 어떻게 비교되는가?
• RQ5 이 하한이 양자 통신 복잡도에서의 직접 합 정리에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 바르트만 엔트로피로 주어진 점근적 압축률을 달성할 수 있는 한 번의 시행 양자 부호화 방식은 존재하지 않는다.
• 상호작용 통신이 있더라도, 양자 한 번의 시행 부호화에서의 기대 통신 비용은 점근적 비율을 따라잡을 수 없다.
• 기대 통신 비용에 대한 하한은 바르트만 엔트로피보다 엄격히 크며, 이는 고전적 및 양자 한 번의 시행 압축 간의 근본적인 격차를 시사한다.
• 이 결과는 고전적 한 번의 시행 이점인 허프만 부호화의 성능이 양자 영역으로까지 확장되지 않음을 의미한다.
• 이러한 결과는 점근적 비율을 따라잡는 한 번의 시행 양자 반전 샤논 정리의 가능성에 도전한다.
• 이 결과는 양자 정보 이론에서 양자 작업 비용이 그 고전적 대응보다 크게 초과되는 드문 사례를 부각시킨다.