[논문 리뷰] Lower Bounding Ground-State Energies of Local Hamiltonians Through the Renormalization Group

Ilya Kull, Norbert Schuch외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 12. 06.

Quantum many-body systems인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 국소 양자 하미르토니안의 기본 상태 에너지를 하한으로 묶기 위해 리노멀화 군(RG) 프레임워크를 활용한 새로운 볼록 근사 방법을 제안한다. 점점 더 큰 부분계열에 걸쳐 일致성 제약 조건을 강제하는 RG 군집화 맵을 통해 계산 복잡도를 줄이면서도 엄밀한 하한을 유지한다. 주요 기여는 1D 및 2D 스핀 시스템에 적용 가능한 확장 가능한 대칭 인식 방법으로, 약 100스핀의 국소적으로 이동 불변 상태를 최적화하는 것과 유사한 하한을 달성한다.

ABSTRACT

Given a renormalization scheme, we show how to formulate a tractable convex relaxation of the set of feasible local density matrices of a many-body quantum system. The relaxation is obtained by introducing a hierarchy of constraints between the reduced states of ever-growing sets of lattice sites. The coarse-graining maps of the underlying renormalization procedure serve to eliminate a vast number of those constraints, such that the remaining ones can be enforced with reasonable computational means. This can be used to obtain rigorous lower bounds on the ground state energy of arbitrary local Hamiltonians, by performing a linear optimization over the resulting convex relaxation of reduced quantum states. The quality of the bounds crucially depends on the particular renormalization scheme, which must be tailored to the target Hamiltonian. We apply our method to 1D translation-invariant spin models, obtaining energy bounds comparable to those attained by optimizing over locally translation-invariant states of $n\gtrsim 100$ spins. Beyond this demonstration, the general method can be applied to a wide range of other problems, such as spin systems in higher spatial dimensions, electronic structure problems, and various other many-body optimization problems, such as entanglement and nonlocality detection.

연구 동기 및 목표

• 국소 하미르토니안의 기본 상태 에너지에 대한 엄밀한 하한을 계산하기 위한 실용적인 방법을 개발하기 위해.
• 재귀적 제약 조건을 제거하기 위해 리노멀화 군 군집화를 활용하여 에너지 하한의 계산 비용을 줄이기 위해.
• 감소된 밀도 행렬에 대한 제약 조건의 계층을 설정하여 1D 및 2D 양자 스핀 시스템에 대해 확장 가능한 에너지 하한을 가능하게 하기 위해.
• 대칭성(예: 이동 불변성, 전역 군 대칭성)을 근사 프레임워크에 통합하여 자유 매개변수의 수를 줄이고 효율성을 향상시키기 위해.
• 이 방법의 효과성을 1D 이동 불변 스핀 사슬에서 입증하고, 고차원 시스템 및 기타 다체 문제로의 적용 가능성을 확장하기 위해.

제안 방법

• 성장하는 부분계열 간의 일致성 제약 조건의 계층을 도입하여 타당한 국소 감소 밀도 행렬(RDM)의 집합에 대한 볼록 근사를 구성하기 위해.
• 중복된 제약 조건을 제거하기 위해 RG 군집화 맵을 사용하여 시행 가능한 제약 조건의 수를 관리 가능한 수준으로 극도로 줄이기 위해.
• 결과로 얻어진 볼록 집합 위에서 선형 최적화를 수행하여 국소 하미르토니안의 기본 상태 에너지에 대한 엄밀한 하한을 확보하기 위해.
• 이동 불변성 및 전역 군 작용과 같은 대칭성을 유지하기 위해 대칭 행렬 제품 상태(MPS) 또는 텐서 네트워크에서 군집화 맵을 구성하기 위해.
• 국소적으로 이동 불변(LTI) 계층을 사용해 1D 시스템에 적용하고, 대칭성을 유지하는 맵을 사용해 삼각형 또는 정사각형 패치 군집화를 통해 2D로 확장하기 위해.
• 외삽 기법과 SDP 모델링 소프트웨어를 사용해 필요한 시스템 크기를 추정하고, 실용적인 구현을 가능하게 하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리노멀화 군 프레임워크를 사용해 타당한 감소 밀도 행렬의 집합을 체계적으로 근사화할 수 있는가? 이는 물리적 일치성을 유지하면서 에너지 하한을 가능하게 하는가?
• RQ2 RG 군집화 맵을 어떻게 설계할 수 있는가? 이는 중복된 제약 조건을 제거하면서도 에너지 하한의 정확도를 유지하는가?
• RQ3 대칭을 유지하는 군집화 맵을 사용하면 근사 과정에서 자유 매개변수의 수를 얼마나 줄일 수 있으며, 이는 확장성 향상에 얼마나 기여하는가?
• RQ4 이 방법을 사용해 확보할 수 있는 에너지 하한의 정확도는 기존의 변분 기법이나 근사 기법과 비교해 얼마나 높은가?
• RQ5 이 접근법은 고차원 스핀 시스템 및 전자 구조, 비국소성 탐지 등의 다른 다체 문제로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 이 방법은 약 100스핀의 국소적으로 이동 불변 상태를 최적화하는 것과 유사한 정확도로 1D 이동 불변 스핀 모델의 기본 상태 에너지 하한을 확보한다.
• 2D 헤이젠베르크 모델의 경우, 문헌에서 알려진 최고의 결과와 유사한 하한을 도출하였으며, 변형된 삼각형 패치의 변 길이 l ≳ 11일 경우 약 한 계단의 개선이 예상된다.
• 대칭성 유지 군집화 맵(예: 대칭 MPS에서 유도된 맵)을 사용함으로써 자유 매개변수의 수가 감소하여 물리적 대칭성을 유지하면서도 효율적인 근사를 가능하게 한다.
• RG 맵을 사용해 중복된 제약 조건을 제거함으로써 계산 비용이 크게 감소하여, 더 큰 부분계열에 대해서도 SDP 근사가 실현 가능해진다.
• 이 방법은 일반적이며 고차원 스핀 시스템, 전자 구조, 얽힘/비국소성 탐지 등 다양한 문제에 적용 가능하다.
• 수치적 결과는 이 방법의 성능이 시스템 크기에 따라 유리하게 스케일링됨을 보여주며, 외삽 분석을 통해 중간 수준의 계산 자원으로도 고정밀 하한을 확보할 수 있음을 시사한다.