[논문 리뷰] Lower Bounds for a Polynomial on a basic closed semialgebraic set using geometric programming

Mehdi Ghasemi, Murray Marshall|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 15.

Advanced Optimization Algorithms Research참고 문헌 7인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 다항식이 다항부등식으로 정의된 기본 닫힘 준대수집합 위에서의 하한을 계산하기 위한 기하프로그래밍 기반 알고리즘을 제시한다. 이는 이전의 비제약 조건 하의 경우와 초타원체 영역에 대한 방법을 일반화하여, 고차수이면서 희소한 다항식에서 세미정적프로그래밍이 실패하는 경우에도 빠른 계산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

$f,g_1,...,g_m$ be elements of the polynomial ring $\mathbb{R}[x_1,...,x_n]$. The paper deals with the general problem of computing a lower bound for $f$ on the subset of $\mathbb{R}^n$ defined by the inequalities $g_i\ge 0$, $i=1,...,m$. The paper shows that there is an algorithm for computing such a lower bound, based on geometric programming, which applies in a large number of cases. The algorithm extends and generalizes earlier algorithms of Ghasemi and Marshall, dealing with the case $m=0$, and of Ghasemi, Lasserre and Marshall, dealing with the case $m=1$ and $g_1= M-(x_1^d+\cdots+x_n^d)$. Here, $d$ is required to be an even integer $d \ge \max\{2,°(f)\}$. The algorithm is implemented in a SAGE program developed by the first author. The bound obtained is typically not as good as the bound obtained using semidefinite programming, but it has the advantage that it is computable rapidly, even in cases where the bound obtained by semidefinite programming is not computable.

연구 동기 및 목표

• 다항식이 다항부등식으로 정의된 기본 닫힘 준대수집합 위에서 계산적으로 효율적인 하한을 계산하는 데 도전한다.
• 이전에 비제약 조건 하의 다항식이나 단일 초타원체 제약 조건에 국한되어 있던 기하프로그래밍 기법을 일반 준대수집합으로 확장한다.
• 특히 고차수 및 희소 다항식에서 세미정적프로그래밍보다 계산 속도가 빠른 알고리즘을 개발한다.
• 최적 하한의 타협된 형태를 제공하여, 많은 경우에 기하프로그래밍을 통해 계산 가능한 형태를 유지한다.

제안 방법

• 다항식 $ f $ 를 $ K_{\boldsymbol{g}} = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : g_j(\mathbf{x}) \geq 0, \, j=1,\dots,m \} $ 에서 최소화하는 문제로 공식화하며, $ \boldsymbol{g} = (g_1, \dots, g_m) $ 이다.
• 모든 $ \lambda_j \geq 0 $ 를 만족하는 매개변수화된 교란항 $ G(\lambda) = f - \sum_{j=1}^m \lambda_j g_j $ 을 도입하여, $ K_{\boldsymbol{g}} $ 상에서 $ G(\lambda) \leq f $ 가 되도록 보장한다.
• 기하프로그래밍을 적용하여 $ G(\lambda)_{\text{gp}} $ 를 계산하며, 이는 $ \mathbb{R}^n $ 상에서 $ G(\lambda) $ 의 하한이 되고, 따라서 $ f $ 를 $ K_{\boldsymbol{g}} $ 에서의 하한으로 제한한다.
• 후보 하한을 $ s(f, \boldsymbol{g}) = \sup_{\lambda \in [0,\infty)^m} G(\lambda)_{\text{gp}} $ 로 정의하며, 유리한 경우 기하프로그래밍을 통해 계산 가능하다.
• 최적화 하위문제를 모델링하기 위해 포지노미얼 및 단항식 함수를 사용하며, 쌍대성과 산술-기하 평균 부등식을 활용한다.
• 최적의 상한 $ s(f, \boldsymbol{g}) $ 가 기하프로그래밍을 통해 계산 가능한 충분한 조건(예: 정리 4.2)과 타협된 형태를 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기하프로그래밍은 비제약 조건 및 단일 초타원체 경우를 초월하여 일반적인 기본 닫힘 준대수집합 위에서 다항식의 하한을 계산하는 데 확장될 수 있는가?
• RQ2 기하프로그래밍 기반 하한의 이중 변수 $ \lambda $ 에 대한 상한이 기하프로그래밍을 통해 계산 가능한 조건은 무엇인가?
• RQ3 고차수 또는 희소 다항식에 대해 제안된 방법이 세미정적프로그래밍 기반 방법과 비교하여 계산 속도와 정확도에서 어떻게 성능을 내는가?
• RQ4 이 방법은 초타원체나 초입방체의 곱으로 이루어진 구조적 집합에 체계적으로 적용될 수 있는가?
• RQ5 기하프로그래밍 기반 하한과 초입방체에서 [3]의 단순 하한 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 방법은 기하프로그래밍을 사용하여 $ f $ 가 $ K_{\boldsymbol{g}} $ 에서의 하한 $ s(f, \boldsymbol{g}) $ 를 계산하며, 이는 $ m=0 $ 및 $ m=1 $ 이면서 $ g_1 = M - \sum x_i^d $ 인 경우의 이전 결과를 일반화한다.
• 특정 동차성 또는 대칭 조건을 만족하는 다항식의 구조를 가진 경우, 많은 경우에 하한 $ s(f, \boldsymbol{g}) $ 가 기하프로그래밍을 통해 계산 가능하다.
• 초입방체 $ \prod_{j=1}^n [-N_j, N_j] $ 에서, 이 방법은 [3]에서의 단순 하한을 회복하고 개선하며, 모든 최고차항 계수들이 음수일 경우 등호가 성립한다.
• 특히 고차수 및 희소 다항식에서 세미정적프로그래밍보다 훨씬 빠르며, SDP가 실패하는 경우에도 실행 가능하다.
• 이론적 결과(예: 정리 4.2)는 최적의 하한 $ s(f, \boldsymbol{g}) $ 가 기하프로그래밍을 통해 계산 가능한 충분한 조건를 규명하며, 초타원체의 곱을 포함한 경우에도 적용 가능하다.
• SAGE 구현체는 github.com/mghasemi/CvxAlgGeo 에 공개되어 있어, 방법의 실용적 적용 및 성능 평가가 가능하다.