[논문 리뷰] Lower Bounds for diophantine Approximation

M Giusti, Joos Heintz외 4명|ArXiv.org|1996. 08. 13.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 19인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 다변수 다항식 체계를 해결하기 위한 비지수적 알고리즘을 제시하며, 직선 프로그램과 기호적 뉴턴 반복을 사용하여, 영차원 체계에 대한 디오판틴 근사의 로그 높이에 대한 내재적 하한을 도출한다—리우빌 정리의 다변수 일반화이자 대수기하학에서 대수적 근사 이론의 복잡도 이론적 기초를 확립한다.

ABSTRACT

We introduce a subexponential algorithm for geometric solving of multivariate polynomial equation systems whose bit complexity depends mainly on intrinsic geometric invariants of the solution set. From this algorithm, we derive a new procedure for the decision of consistency of polynomial equation systems whose bit complexity is subexponential, too. As a byproduct, we analyze the division of a polynomial modulo a reduced complete intersection ideal and from this, we obtain an intrinsic lower bound for the logarithmic height of diophantine approximations to a given solution of a zero--dimensional polynomial equation system. This result represents a multivariate version of Liouville's classical theorem on approximation of algebraic numbers by rationals. A special feature of our procedures is their {\em polynomial} character with respect to the mentioned geometric invariants when instead of bit operations only arithmetic operations are counted at unit cost. Technically our paper relies on the use of straight--line programs as a data structure for the encoding of polynomials, on a new symbolic application of Newton's algorithm to the Implicit Function Theorem and on a special, basis independent trace formula for affine Gorenstein algebras.

연구 동기 및 목표

• 내재 기하 불변량에 따라 비트 복잡도가 의존하는 영차원 다항식 체계를 해결하기 위한 비지수 시간 알고리즘을 개발하는 것.
• 내재 기하 불변량에 따라 비트 복잡도가 의존하는 다항식 방정식 체계의 일致성에 대한 결정 절차를 수립하는 것.
• 영차원 체계의 해에 대한 디오판틴 근사의 로그 높이에 대한 내재적 하한을 도출하는 것.
• 리우빌의 고전적 대수적 수의 유리수 근사 정리를 다변수 설정으로 일반화하는 것.
• 직선 프로그램을 데이터 구조로 사용하여 산술 연산에서 다항식 시간 행동을 보여주는 것.

제안 방법

• 다항식을 압축된 데이터 구조로 표현하기 위해 직선 프로그램을 사용하여 계산 복잡도를 감소시키는 것.
• 암시 함수 정리에 대해 뉴턴 알고리즘의 기호적 변형을 적용하여 다항식 체계의 효율적 국소 해법을 수행하는 것.
• 모노미얼 기저에 의존하지 않고 해 집합을 분석하기 위해 애핀 고페르스타인 대수의 기저에 의존하지 않는 추적 공식을 사용하는 것.
• 감소된 완전 교차 이상수 이상에서의 다항식 나눗셈을 분석하여 디오판틴 근사의 높이 한계를 도출하는 것.
• 도수와 베티 수와 같은 기하 불변량을 알고리즘 복잡도와 결합하여 근사 품질을 제한하는 것.
• 영차원 아이디얼의 구조를 사용하여 디오판틴 근사와 관련된 해의 복잡도에 대한 내재 측도를 정의하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 영차원 다항식 체계의 해에 대한 유리수 근사의 최소 로그 높이는 무엇인가?
• RQ2 내재 기하 불변량을 사용하여 다변수 다항식 체계를 해결하는 데 필요한 비트 복잡도는 어떻게 제한될 수 있는가?
• RQ3 해의 기하학적 구조에 따라 비트 복잡도가 의존하는 다항식 체계의 일치성 결정을 위한 비지수 알고리즘을 구성할 수 있는가?
• RQ4 다변수 설정에서 디오판틴 근사의 하한은 고전적 단변수 경우와 어떻게 다를까?
• RQ5 대수적 계산에서 산술 복잡도와 비트 복잡도는 어느 정도 분리될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 영차원 다항식 체계의 해에 대한 디오판틴 근사의 로그 높이에 대한 새로운 내재 하한을 확립하며, 리우빌 정리를 다변수로 일반화한다.
• 도수와 베티 수와 같은 기하 불변량에 따라 비트 복잡도가 의존하는 다변수 다항식 체계를 해결하기 위한 비지수 알고리즘을 개발한다.
• 다항식 체계의 일치성에 대한 결정 절차 역시 동일한 알고리즘 프레임워크에 기반하여 비지수 비트 복잡도를 달성한다.
• 직선 프로그램의 사용은 산술 연산에서 다항식 시간 행동을 가능하게 하며, 산술 복잡도와 비트 복잡도의 분리를 부각시킨다.
• 애인 고페르스타인 대수의 기저에 의존하지 않는 추적 공식은 모노미얼 기저 계산에 의존하지 않고도 높이 한계를 도출하는 데 핵심적인 역할을 한다.
• 결과적으로, 디오판틴 근사의 품질은 해 집합의 기하학적 복잡도에 의해 본질적으로 제한됨을 보여준다.