[논문 리뷰] Lower bounds for moments of L-functions: symplectic and orthogonal examples

Zeév Rudnick, K. Soundararajan|ArXiv.org|2006. 01. 20.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 8인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 직교 및 심플렉틱 L함수 가족에서 중심 L값의 모멘트에 대해 추측된 주요 크기의 비자명한 하한을 확립한다. 스펙트럼 방법과 근사 함수 방정식을 사용하여, 짝수 정수 r과 k에 대해, 체중 k ≡ 0 mod 4인 정수계수 헤르무이트 캐스프 형식 f에 대한 L(1/2, f)의 r차 모멘트는 (log k)^{r(r−1)/2}의 주요 크기로 증가하며, 이는 Keating–Snaith 추측과 渐近적으로 일치한다. 또한, 제곱근의 딜리클레 문자 χ_d에 대한 L(1/2, χ_d)의 k차 모멘트는 X(log X)^{k(k+1)/2}의 주요 크기로 증가한다.

ABSTRACT

We give lower bounds of the conjectured order of magnitude for an orthogonal and a symplectic family of L-functions.

연구 동기 및 목표

• 직교 및 심플렉틱 가족에서 L함수의 모멘트에 대해 추측된 로그의 거듭제곱 또는 X와 로그 항의 곱으로 성장하는 주요 크기의 비자명한 하한을 확립하는 것.
• 이전에 유니터리 가족에 대해 개발된 방법을 직교 및 심플렉틱 가족으로 확장하여, 대칭 유형 전반에 걸친 모멘트 하한의 포괄적인 그림을 완성하는 것.
• 이 가족에서의 모멘트에 대한 Keating–Snaith 추측의 渐近 예측과 하한이 일치하는지 확인하는 것.

제안 방법

• 레벨 1이고 체중 k ≡ 0 mod 4인 큰 체중을 가진 정수계수 헤르무이트 캐스프 형식에 대해 페테르손 노름에서 유도된 조화 가중치를 사용하여 가중 모멘트를 정의한다.
• L(1/2, f)에 대한 근사 함수 방정식을 적용하여 중심 L값을 헤이크 고유값과 부드러운 가중 함수 W(ξ)를 포함하는 합으로 표현한다.
• A(f, x) = ∑_{n≤x} λ_f(n)/√n의 절단된 합을 도입하여 A(f)^{r−1}과 L(1/2, f)를 포함하는 모멘트를 구성함으로써 스펙트럼 기법의 적용을 가능하게 한다.
• 페테르손 추적 공식과 문자 합 추정을 사용하여 기본 판별식 d에 대한 합을 분석하며, 모비우스 함수와 제곱근 문자 합을 활용한다.
• 부분 합계와 곱셈 함수의 추정치를 적용하여 오차 항을 통제하고 주된 항을 분리한다. 주된 항은 곱 nn₁⋯n_{k−1}이 제곱일 때 발생한다.
• 홀수 제곱 자유 정수에 대한 약수 합의 알려진 渐近 추정치를 사용하여, 심플렉틱 가족에서 주된 항이 X(log X)^{k(k+1)/2}의 크기를 기여함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 체중 k ≡ 0 mod 4인 정수계수 헤르무이트 캐스프 형식 f에 대해 L(1/2, f)의 r차 모멘트의 정확한 주요 크기는 무엇이며, 추측된 (log k)^{r(r−1)/2}로 아래에서 유계일 수 있는가?
• RQ2 제곱근의 딜리클레 문자 χ_d에 대한 L(1/2, χ_d)의 k차 모멘트에 대한 Keating–Snaith 추측은 아래에서 검증될 수 있는가? 예측된 성장률 X(log X)^{k(k+1)/2}이 성립하는가?
• RQ3 이전에 유니터리 가족에 대해 사용된 방법은 직교 및 심플렉틱 가족으로 확장 가능한가? 그리고 추측된 渐近과 일치하는 날카로운 하한을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 짝수 정수 r에 대해, 체중 k ≡ 0 mod 4인 정수계수 헤르무이트 캐스프 형식 f에 대한 L(1/2, f)의 r차 모멘트는 ∑_{f∈H_k} ω_f^{-1} L(1/2, f)^r ≫_r (log k)^{r(r−1)/2}를 만족한다.
• 모든 짝수 정수 k에 대해, |d| ≤ X인 기본 판별식에 대한 L(1/2, χ_d)의 k차 모멘트는 ∑_{|d|≤X}^♭ L(1/2, χ_d)^k ≫_k X(log X)^{k(k+1)/2}를 만족한다.
• 제곱근 L함수의 네 번째 모멘트에 대한 하한은 Keating–Snaith 渐近 추측과 정확히 일치하며, 주된 항은 (D(4) + o(1))X(log X)^10의 형태를 가진다.
• k가 짝수 정수가 아닐 경우 L(1/2, χ_d)^k를 |L(1/2, χ_d)|^k로 대체함으로써, 이 방법은 유리수 지수 k ≥ 1로 확장될 수 있다.
• 심플렉틱 경우의 주요 항은 인덱스의 곱이 제곱일 때 발생하며, 그 크기는 홀수 제곱 자유 정수에 대한 약수 합에 의해 제어되며, 이로써 올바른 로그 거듭제곱이 도출된다.