[논문 리뷰] Lower bounds for moments of zeta and $L$-functions revisited

Winston Heap, K. Soundararajan|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 26.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 7인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 임계선 상의 리만 제타 함수 및 L-함수의 모멘트에 대한 날카운 하한을 구하기 위한 새로운 방법을 개발한다. 이 방법은 짧은 디리클레 다항식을 통한 타란스케이트 오일러乘수 근사에 기반하며, $T$ 가 크고 $k \in [(\log T)^{-1/2}, 2]$ 인 경우, $|\frac{1}{2}+it|$의 $2k$-번째 모멘트는 $C_k T (\log T)^{k^2}$ 로 하한이 존재함을 증명한다. 명시적인 상수를 포함하며, 이는 이전의 조건부 또는 유리수 $k$에 국한된 결과를 임계 범위 $0 < k \leq 1$로 확장하고, 조건부 결과를 초월하는 무조건적 개선을 이룬다.

ABSTRACT

This paper describes a method to compute lower bounds for moments of $ζ$ and $L$-functions. The method is illustrated in the case of moments of $|ζ(\frac 12+it)|$, where the results are new for small moments $0&lt; k&lt;1$.

연구 동기 및 목표

• 0 < k \leq 1 범위에서 리만 제타 함수 $\zeta(\tfrac{1}{2}+it)$의 모멘트에 대해 정확한 주기의 날카운 하한을 확립하는 것. 이는 이전 결과가 조건부이거나 유리수 $k$에 국한되었기 때문이다.
• 이전에 상한을 구하는 데 사용된 짧은 디리클레 다항식을 통한 오일러乘수 근사 방법을, 하한 문제로 확장하는 것.
• 제곱 모멘트가 알려져 있지 않은 가족들, 예를 들어 디리클레 L-함수의 중심 L-값, 이차 스위치, 제곱 모멘트가 알려지지 않은 L-함수 가족들에 대해 무조건적이고 정량적인 하한을 제공하는 것.
• 작은 모멘트와 큰 모멘트를 통합적으로 다루기 위해, $k \in [(\log T)^{-1/2}, 2]$ 범위에서 동일한 방법이 최적의 하한을 제공함을 보이는 것.

제안 방법

• 디리클레 다항식 $\mathcal{N}(s, \alpha)$ 를 구성하여 오일러乘수 $\prod_p (1 - p^{-s})^{-\alpha}$ 를 이차 간격의 소수에 대한 절단합으로 근사한다.
• 소수를 이차 간격 $[T_{j-1}, T_j)$ 로 분할하며, 각각의 부분합 $P_j = \sum_{T_{j-1} \leq p < T_j} \frac{1}{p}$ 가 로그적으로 증가하도록 $T_j$ 를 선택한다.
• 각 간격에 대해 다항식 $\mathcal{N}_j(s, \alpha)$ 는 $\sum_{r=0}^{K_j} \frac{1}{r!} (\alpha \mathcal{P}_j(s))^{\,r}$ 로 정의되며, 여기서 $\mathcal{P}_j(s)$ 는 $j$-번째 소수 간격에 대한 디리클레 다항식이다.
• 핵심 아이디어는 하향 부등식을 사용하여 $|\zeta(\tfrac{1}{2}+it)|$ 의 $2k$-번째 모멘트를 이러한 다항식들의 곱의 $L^2$-노름과 연결하는 것이다. 이는 정규직교성과 평균값 추정을 활용한다.
• 디리클레 다항식에 대한 평균값 정리를 적용하여 $\mathcal{N}_j(\tfrac{1}{2}+it, k)$ 의 $L^2$-노름을 추정함으로써, 소수에 대한 곱 $\prod_p (1 + \frac{k^2}{p})$ 를 얻으며, 이는 渐近적으로 $\sim (\log T)^{k^2}$ 로 수렴한다.
• 모든 $k \geq 1$ 에 대해 방법을 확장하기 위해 $T_j$ 와 $K_j$ 의 정의를 조정하고, 제2모멘트 제어가 필요 없는 제1모멘트 및 제2모멘트 추정을 사용함으로써, $k \geq 1$ 경우의 제약을 피한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 오일러乘수를 짧은 디리클레 다항식으로 근사하는 방법이 $0 < k \leq 1$ 범위에서 $\zeta(\tfrac{1}{2}+it)$ 의 모멘트에 대해 날카운 하한을 도출하는 데 적합한가?
• RQ2 $k \in (0,1)$ 인 경우 $|\zeta(\tfrac{1}{2}+it)|$ 의 $2k$-번째 모멘트에 대해 최적의 하한은 무엇이며, 이를 무조건적이고 정량적으로 효과적으로 만들 수 있는가?
• RQ3 이 방법은 제곱 모멘트가 알려져 있지 않은 L-함수 가족, 특히 새로운 형식의 이차 스위치에 대해 확장 가능한가?
• RQ4 리만 가설 하에서의 조건부 결과와 비교해 볼 때, $|\zeta(\tfrac{1}{2}+it)|$ 의 큰 값의 측도에 대한 하한은 어떻게 되는가?
• RQ5 이 방법을 사용하여 $k \in [(\log T)^{-1/2}, 2]$ 범위에서 $T (\log T)^{k^2}$ 의 추측된 주기와 일치하는 균일한 하한을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• $T$ 가 크고 $k \in [(\log T)^{-1/2}, 2]$ 인 경우, $|\zeta(\tfrac{1}{2}+it)|$ 의 $2k$-번째 모멘트는 $\int_T^{2T} |\zeta(\tfrac{1}{2}+it)|^{2k} dt \gg_k T (\log T)^{k^2}$ 를 만족하며, 명시적인 상수를 포함한다: $k \leq 1$ 에서는 $C_k = C_1 k$, $k > 1$ 에서는 $C_k = (C_2 k^2 \log(ek))^{-k^2}$.
• 이 하한은 무조건적이며, 이전 결과보다 조건부 또는 유리수 $k$ 에 국한된 결과를 초월한다.
• 힙, 라드지빌, 사운다라라잔의 상한과 결합하여, $k \in [(\log T)^{-1/2}, 2]$ 범위에서 모멘트가 $T (\log T)^{k^2}$ 의 주기로 되어 있음을 증명하며, 추측된 渐近 주기의 정당성을 확인한다.
• 이 방법은 큰 값의 측도에 대한 날카운 하한을 제공한다: $\text{meas}\{t \in [T,2T] : |\zeta(\tfrac{1}{2}+it)| \geq e^V\} = T \exp\Big{(} -\frac{V^2}{\log\log T} + O\Big{(}\frac{V \log\log\log T}{\sqrt{\log\log T}}\Big{)}\Big{)}$ 이며, 이는 $V$ 가 $\sqrt{\log\log T} \log\log\log T \leq V \leq 2\log\log T - \cdots$ 범위에 있을 때 성립한다.
• 이 방법은 다른 L-함수 가족에도 적용 가능하다: 소수 $q$ 모듈로 디리클레 L-함수의 경우 $\sum_{\chi \pmod{q}} |L(\tfrac{1}{2}, \chi)|^{2k} \gg_k q (\log q)^{k^2}$; 이차 스위치의 경우 $\sum_{|d| \leq X}^\flat |L(\tfrac{1}{2}, \chi_d)|^{k} \gg_k X (\log X)^{k(k+1)/2}$.
• 새로운 형식 $f$ 의 이차 스위치에 대해서는, 제곱 모멘트가 알려져 있지 않더라도 $\sum_{|d| \leq X}^\flat L(\tfrac{1}{2}, f \times \chi_d)^k \gg_k X (\log X)^{k(k-1)/2}$ 를 얻으며, 이는 모든 $k \geq 1$ 에 대해 성립한다.