[논문 리뷰] Lower Bounds for XOR of Forrelations

Uma Girish, Ran Raz외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 07.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 푸리에 분석을 사용하여 k개의 독립적인 Forrelation 함수의 XOR에 대해 날카러운 하한을 확립한다. 이는 레벨 2k에서 푸리에 질량이 유한한 모든 고전적 프로토콜이나 회로가 XOR을 1/√N보다 우수한 성능으로 계산할 수 없음을 보여준다. 결과적으로, 기존의 1/√N 상관관계 임계값에 얽매이지 않는 지수적으로 작은 이점을 가진 통신 복잡도 및 질의 복잡도에서의 새로운 양자-고전적 분리가 가능해진다.

ABSTRACT

The Forrelation problem, introduced by Aaronson [A10] and Aaronson and Ambainis [AA15], is a well studied problem in the context of separating quantum and classical models. Variants of this problem were used to give exponential separations between quantum and classical query complexity [A10, AA15]; quantum query complexity and bounded-depth circuits [RT19]; and quantum and classical communication complexity [GRT19]. In all these separations, the lower bound for the classical model only holds when the advantage of the protocol (over a random guess) is more than $\approx 1/\sqrt{N}$, that is, the success probability is larger than $\approx 1/2 + 1/\sqrt{N}$. To achieve separations when the classical protocol has smaller advantage, we study in this work the XOR of $k$ independent copies of the Forrelation function (where $k\ll N$). We prove a very general result that shows that any family of Boolean functions that is closed under restrictions, whose Fourier mass at level $2k$ is bounded by $α^k$, cannot compute the XOR of $k$ independent copies of the Forrelation function with advantage better than $O\left(\frac{α^k}{N^{k/2}} ight)$. This is a strengthening of a result of [CHLT19], that gave a similar result for $k=1$, using the technique of [RT19]. As an application of our result, we give the first example of a partial Boolean function that can be computed by a simultaneous-message quantum protocol of cost $\mbox{polylog}(N)$ (when players share $\mbox{polylog}(N)$ EPR pairs), however, any classical interactive randomized protocol of cost at most $ ilde{o}(N^{1/4})$, has quasipolynomially small advantage over a random guess. We also give the first example of a partial Boolean function that has a quantum query algorithm of cost $\mbox{polylog}(N)$, and such that, any constant-depth circuit of quasipolynomial size has quasipolynomially small advantage over a random guess.

연구 동기 및 목표

• Forrelation 관련 문제에 대해 고전적 프로토콜에서 1/√N 이득 장벽을 극복하기 위해.
• k개의 독립적인 Forrelation 함수의 XOR을 계산하는 데 성공 확률을 하한화하는 일반적 프레임워크를 개발하기 위해.
• 제한 조건에 대해 닫혀 있는 부울 함수 가족에 대해 이전의 푸리에 기반 하한을 레벨 2에서 레벨 2k로 확장하기 위해.
• 고전적 모델이 랜덤 추측에 비해 준다항수준의 이득을 가질 수 있는 통신 복잡도 및 질의 복잡도에서 분리를 달성하기 위해.
• 다항로그 비용을 가진 양자 프로토콜이 ˜o(N^{1/4}) 통신을 가진 고전적 프로토콜과 분리되는 첫 번째 예시를 제공하기 위해.

제안 방법

• 부울 함수에서 레벨-2k 푸리에 계수의 기여도를 하한화하기 위해 푸리에 분석을 사용한다.
• 각 Forrelation 복사본에 대해 독립적인 랜덤 워크 k개의 곱을 사용하여 XOR 함수의 분포를 모델링한다.
• 일반적인 하한을 확립한다: 제한 조건에 대해 닫혀 있는 함수 가족 중 레벨-2k 푸리에 질량 ≤ αk인 경우, XOR을 O(αk / N^{k/2})를 초과하는 이득으로 계산할 수 없다.
• [RT19] 및 [CHLT19]의 기법을 응용하고, 이를 더 높은 수준의 푸리에 계수로 확장한다.
• 통신 복잡도 증명에서 소형 직사각형 제약 조건을 다루기 위해 확장된 프로토콜(extl(C))을 도입한다.
• AC0 회로 및 통신 프로토콜에 주요 정리를 적용하기 위해, [Tal19] 및 [GRT19]의 결과를 활용하여 레벨-2k 푸리에 질량을 하한화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 이득이 1/√N 이하일 경우, k개의 Forrelation 함수의 XOR에 대해 하한을 증명할 수 있는가?
• RQ2 함수 가족이 k개의 Forrelation 함수의 XOR을 비중략적인 이득으로 계산하기 위해 필요한 최소한의 레벨-2k 푸리에 질량은 얼마인가?
• RQ3 고전적 프로토콜이 다항식 수준의 이득이 아닌 준다항식 수준의 이득을 가질 수 있는 양자-고전적 분리를 달성할 수 있는가?
• RQ4 레벨 2 푸리에 계수에 사용된 푸리에 기반 기법이 레벨 2k와 같은 더 높은 수준으로 확장 가능한가?
• RQ5 다항로그 비용의 양자 알고리즘으로 계산 가능하지만, 준다항식 크기의 상수 깊이 회로로는 비중략적인 이득을 넘어서지 못하는 부분 부울 함수의 명시적 예를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 레벨-2k 푸리에 질량이 αk 이하로 제한된 한, 어떤 고전적 프로토콜이나 회로도 XOR을 O(αk / N^{k/2})를 초과하는 이득으로 계산할 수 없다.
• 통신 복잡도에서, o(N^{1/4}) 비용을 가진 임의의 랜덤화 프로토콜은 k개의 Forrelation XOR에 대해 랜덤 추측에 비해 최대 exp(−Ω(k))의 이득을 가진다.
• 깊이가 제한된 회로에서, 크기가 o(exp(N^{1/(4(d−1))}))인 모든 AC0 회로는 k개의 Forrelation XOR을 계산할 때 최대 exp(−Ω(k))의 이득을 가진다.
• 이 결과는 고전적 이득이 준다항식 수준인 통신 복잡도에서의 첫 번째 양자-고전적 분리를 제공한다.
• 질의 복잡도에서, 다항로그(N) 질의로 계산 가능한 부분 부울 함수가 존재하지만, 준다항식 크기의 상수 깊이 회로로는 비중략적인 이득을 넘어서지 못한다.
• 주요 정리는 k=1일 때의 이전 결과를 일반적인 k로 일반화하여, 다양한 계산 모델에서 더 강력한 분리를 가능하게 한다.