[논문 리뷰] Lower bounds of martingale measure densities in the Dalang-Morton-Willinger theorem

Dmitry B. Rokhlin|ArXiv.org|2008. 04. 10.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 7인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 자산 수익률 증분의 조건부 분포와 $L^p$-공간에서의 쌍대성에 기반하여, 주어진 랜덤 변수 $f$에 의해 아래에서 유계인 조건부 밀도를 가진 등가 마팅게일 측도의 존재에 대한 효과적인 기준을 수립한다. 주요 기여는 비균일한 하한에 대해 이러한 하한을 유한한 손실 제약 조건 하에서의 효용 함수의 유계성으로 특성화하는 것으로, 델랑-모턴-윌링거 정리에서 발생하는 빈도를 메우는 데 기여한다.

ABSTRACT

For a $d$-dimensional stochastic process $(S_n)_{n=0}^N$ we obtain criteria for the existence of an equivalent martingale measure, whose density $z$, up to a normalizing constant, is bounded from below by a given random variable $f$. We consider the case of one-period model (N=1) under the assumptions $S\in L^p$; $f,z\in L^q$, $1/p+1/q=1$, where $p\in [1,\infty]$, and the case of $N$-period model for $p=\infty$. The mentioned criteria are expressed in terms of the conditional distributions of the increments of $S$, as well as in terms of the boundedness from above of an utility function related to some optimal investment problem under the loss constraints. Several examples are presented.

연구 동기 및 목표

• 주어진 랜덤 변수 $f$에 의해 아래에서 유계인 라돈-니코딤 밀도를 가진 등가 마팅게일 측도의 존재를 특성화함으로써 델랑-모턴-윌링거 정리를 확장하는 것.
• 가격 증분 $\Delta S_n$의 조건부 분포에 따라 이러한 하한의 필요 및 충분조건을 제공하는 것.
• 특히 $p=\infty$의 경우 이전의 쌍대성 결과가 실패하는 바, 아래에서 유계인 밀도를 가진 마팅게일 측도의 존재 문제를 해결하는 것.
• 이러한 측도의 존재를 손실 제약 조건 하에서의 최적 투자 문제와 연결하여, 이러한 측도의 존재성과 $L^p$-손실 제약 조건 하에서의 기대 수익의 유계성 간의 동치성을 보여주는 것.
• 이전 문헌의 잘못된 결과(문헌 [6]의 정리 6.1)를 수정하기 위해, $K_1$에서 $\langle X,f\rangle$의 유계성이 $L^\infty$ 설정에서 하한이 유계인 밀도의 존재를 이끌지 못함을 보여주는 반례를 제시하는 것.

제안 방법

• 공액 지수 $q$를 가진 $L^p$-공간에서의 쌍대성($1/p + 1/q = 1$)을 사용하여, 하한이 유계인 마팅게일 측도 밀도의 존재 문제를 이중 공간에서의 타당성 문제로 재구성한다.
• $g \geq f$ a.s. 이고 모든 $X \in K$(수익 과정 공간)에 대해 $\langle X,g\rangle = 0$ 인 조건을, 정규화된 부분집합 $K_1 = \{X \in K : \|X^-–\|_p \leq 1\}$에서 $\langle X,f\rangle$의 유계성 조건으로 표현한다.
• 일단기 모형($N=1$)에서 $S \in L^p$, $f,z \in L^q 이며, $p=\infty$ 인 다단기 모형에서, $\Delta S_n$의 조건부 분포를 $\mathscr{F}_{n-1}$에 대해 분석한다.
• 측도적 집합 값 함수 $\varkappa_{n-1}(\omega)$를 도입하여 $\Delta S_n$의 조건부 분포의 지지역으로 간주하고, 그의 상대 내부가 원점을 포함하는 것이 핵심 기하 조건이 되도록 한다.
• $p=\infty$의 경우 표준 쌍대성 결과가 실패하므로, 기능해석학의 결과, 특히 매크리 위상 $\tau(L^\infty, L^1)$을 적용한다.
• 표현된 반례(예: 5.4)를 통해, $p=\infty$일 때 $\langle X,f\rangle$가 $K_1$에서 유계이더라도 하한이 유계인 밀도 $g$의 존재를 보장하지 못함을 보이며, [6]에서의 주장이 잘못되었음을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 주어진 랜덤 변수 $f$에 의해 아래에서 유계인 라돈-니코딤 밀도를 가진 등가 마팅게일 측도가 존재하는가?
• RQ2 이러한 측도의 존재는 자산 수익률 증분 $\Delta S_n$의 조건부 분포에 대해 어떻게 특성화될 수 있는가?
• RQ3 왜 [6]의 쌍대성 결과는 $L^\infty$ 설정에서 실패하는가? 하한이 유계인 밀도의 존재에 대한 올바른 조건은 무엇인가?
• RQ4 하한이 유계인 마팅게일 측도의 존재는 손실 제약 조건 하에서의 기대 수익의 유계성과 연결될 수 있는가?
• RQ5 자산 수익률 증분 $\Delta S_n$의 지지집합의 볼록 hull의 상대 내부가 존재하는 조건이 이러한 측도의 존재에 미치는 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 $p \in (1,\infty)$에 대해, 밀도가 $f$에 의해 아래에서 유계인 마팅게일 측도의 존재는 집합 $K_1 = \{X \in K : \|X^-–\|_p \leq 1\}$에서 $\langle X,f\rangle$의 유계성과 동치이다.
• $p=\infty$의 경우, $\langle X,f\rangle$가 $K_1$에서 유계라는 사실은 충분하지 않다. 대신 $f$는 매크리 위상 $\tau(L^\infty, L^1)$에서 0의 이웃에서 유계여야 한다.
• 반례(예 5.4)는 $f=1$일 때 $\sup_{X \in K_1} \langle X,f\rangle < \infty$ 이지만, 하한이 유계인 밀도 $g$가 존재하지 않음을 보여주며, [6]의 정리 6.1을 무효화한다.
• $\text{conv}(\varkappa_{n-1})$의 상대 내부가 거의 확실히 원점을 포함한다는 조건은 하한이 유계인 밀도의 존재에 대해 필수적이지만 충분하지 않다; 추가적인 적분 가능성 및 유계성 조건이 필요하다.
• 양수 상수 $c$에 의해 아래에서 유계인 밀도를 가진 마팅게일 측도의 존재는 특정 집합 $A_j$에 대해 $\mathsf{E}(g I_{A_j}) \geq c/2$를 암시한다. 그러나 $\mathsf{P}(A_j) \to 0$ 이면 이는 도미네이티드 수렴 정리와 모순되므로, 지지 및 모멘트 조건에 대한 신중한 고려가 필수적임을 보여준다.
• 논문은 $\mathsf{E}G_2^\gamma = \infty$ 이지만 $G_2^\gamma \geq -1$ a.s. 를 만족하는 전략 $\gamma$를 구성하여, 손실이 유계이더라도 기대 수익이 무한대가 될 수 있음을 보여주며, 일시기 수익이 유계일지라도 기대 수익이 무한대가 될 수 있음을 시사한다.