[논문 리뷰] Lower Bounds of the Discretization for Piecewise Polynomials

Qun Lin, Hehu Xie외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 22.

Advanced Numerical Analysis Techniques참고 문헌 7인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 타원형 문제 및 고유값 문제에 대한 조각다항식 유한요소 근사에서 이산화 오차의 날카운 하한을 확립한다. 정확한 해가 유한요소 공간에 속해 있지 않을 경우, 소볼레프 노름에서 오차가 $ ch^{r-j} $ 로 아래로 유계임을 증명함으로써, 표준 상한의 최적성과 최소한의 메esh 및 해의 정(regularity) 조건 하에서 유한요소 수렴 속도의 날카움을 확인한다.

ABSTRACT

Assume that $V_h$ is a space of piecewise polynomials of degree less than $r\geq 1$ on a family of quasi-uniform triangulation of size $h$. Then the following well-known upper bound holds for a sufficiently smooth function $u$ and $p\in [1, \infty]$ $$ \inf_{v_h\in V_h}\|u-v_h\|_{j,p,Ω,h} \le C h^{r-j} |u|_{r,p,Ω},\quad 0\le j\le r. $$ In this paper, we prove that, roughly speaking, if $u ot\in V_h$, the above estimate is sharp. Namely, $$ \inf_{v_h\in V_h}\|u-v_h\|_{j,p,Ω,h} \ge c h^{r-j},\quad 0\le j\le r, \ \ 1\leq p\leq \infty, $$ for some $c>0$. The above result is further extended to various situations including more general Sobolev space norms, general shape regular grids and many different types of finite element spaces. As an application, the sharpness of finite element approximation of elliptic problems and the corresponding eigenvalue problems is established.

연구 동기 및 목표

• 조각다항식 유한요소 근사에서 이산화 오차의 날카운 하한을 확립하기.
• 표준 상한 오차 경계가 최적임을 보이기 위해 $ h^{r-j} $ 비례하는 양의 하한이 존재함을 증명하기.
• 일반적인 형태로 정규화된 및 준균일 메쉬로 하한 결과를 확장하고, 적합한 유한요소 공간(예: 적합 및 비적합 유형 포함)에 적용하기.
• 두 번째 차수 및 $ 2m $-차수 타원형 문제와 그 고유쌍 문제에 대해 유한요소 근사의 날카운 성을 하한을 통해 확인하기.

제안 방법

• 준균일 삼각분할에서 소볼레프 노름과 조각다항식 근사를 사용하여 최적 근사 오차 $ \inf_{v_h \in V_h} \|u - v_h\|_{j,p,\Omega,h} $ 의 하한을 유도하기.
• 핵심 기술 조건 적용: 정확한 해 $ u $ 가 $ V_h $ 에 속하지 않으면, 임의의 부분영역 $ G \subset\subset \Omega $ 에서의 $ r $-차 소볼레프 반노름 $ |u|_{r,p,G} > 0 $ 이 성립함.
• 변분 공식 및 이산 고유쌍 문제를 사용하여 두 번째 차수 및 $ 2m $-차수 타원형 문제의 유한요소 방법에 하한을 적용하기.
• 초수렴성 및 보간 이론을 활용하여 최소한의 스무스니스 및 메쉬 정규성 조건 하에서 하한을 도출하기.
• 모렐리 및 MWX 요소와 같은 비적합 요소에 대해 결과를 확장하기 위해, $ |\gamma| = r $ 인 어떤 $ \gamma $ 에 대해 $ D^\gamma v_h = 0 $ 임을 확인하기.
• 해와 고유함수 근사에 대해 $ L^p $ 및 소볼레프 노름에서 하한을 확립하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 조각다항식 근사에서 표준 상한 오차 경계 $ Ch^{r-j} $ 가 하한이 존재하는 바에 비추어 날카로운가?
• RQ2 해와 메쉬에 대해 어떤 조건에서 유한요소 근사의 이산화 오차가 $ \|u - u_h\|_{j,p} \geq c h^{r-j} $ 를 만족하는가?
• RQ3 두 번째 차수 타원형 문제 및 고유값 문제에 대해 유한요소 근사의 날카운 성이 하한을 통해 엄밀히 증명될 수 있는가?
• RQ4 예를 들어 모렐리 또는 MWX 요소와 같은 비적합 유한요소 방법도 이산화 오차에 대해 최적의 하한을 만족하는가?

주요 결과

• 모든 충분히 스무스한 함수 $ u \notin V_h $ 에 대해, $ 0 \leq j \leq r $ 이고 $ 1 \leq p \leq \infty $ 일 때, 최적 근사 오차는 $ \inf_{v_h \in V_h} \|u - v_h\|_{j,p,\Omega,h} \geq c h^{r-j} $ 를 만족하며, $ c > 0 $ 는 $ h $ 와 무관하다.
• 이 하한은 준균일 및 일반적인 형태로 정규화된 삼각분할에서 성립하며, 이는 이전 결과를 더 넓은 메쉬 클래스로 확장한다.
• 두 번째 차수 타원형 문제의 경우, 유한요소 해는 $ \|u - u_h\|_{j,p,h} \geq C h^{r-j} $ 를 만족하며, 이는 수렴 속도의 날카움을 확인한다.
• $ 2m $-차수 타원형 문제의 경우, 동일한 하한이 해와 고유함수 근사에 적용되며, MWX 요소 가족의 경우 $ r = m+1 $ 이다.
• 고유쌍 근사 오차는 $ \|u - u_h\|_{j,p,h} \geq C_{19} h^{r-j} $ 를 만족하며, 준균일 메쉬에 대해 성립하고, 일반 메쉬에 대해서는 더 약하지만 여전히 0이 아닌 하한이 존재한다.
• 결과는 아르기스, 히에시-클로우-토처, 모렐리, MWX 요소 등 다양한 유한요소 유형에 대해 유효하며, 해가 어떤 부분영역에서도 차수 $ r $ 이하의 다항식이 아닐 경우에 한하여 성립한다.