[논문 리뷰] Lower bounds on the quantum Fisher information based on the variance and various types of entropies

G. Tóth|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 25.

Statistical Mechanics and Entropy인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 분산과 QFI/4의 차이를 분석하여 양자 피셔 정보(QFI)에 대한 새로운 하한을 수립한다. 이 차이는 일반화된 분산과 일치하며, 선형 엔트로피에 비례하는 상한을 유도한다. 주요 기여는 QFI, 분산, 엔트로피 간의 정량적 연결을 제시하며, 거의 순수 상태에서 QFI/4가 분산을 근사함을 보여주어 양자 미세측정 및 얽힘 탐지에 응용 가능성을 제시한다.

ABSTRACT

We examine important properties of the difference between the variance and the quantum Fisher information over four, i.e., $(ΔA)^2-F_{ m Q}[\varrho,A]/4.$ We find that it is equal to a generalized variance defined in Petz [J. Phys. A 35, 929 (2002)] and Gibilisco, Hiai, and Petz [IEEE Trans. Inf. Theory 55, 439 (2009)]. We present an upper bound on this quantity that is proportional to the linear entropy. As expected, our relation shows that for states that are close to being pure, the quantum Fisher information over four is close to the variance. We also obtain the variance and the quantum Fisher information averaged over all Hermitian operators, and examine its relation to the von Neumann entropy. Apart from the usual quantum Fisher information, we also consider the Kubo-Mori-Bogoliubov quantum Fisher information.

연구 동기 및 목표

• 양자 상태에 대해 분산과 양자 피셔 정보(QFI)/4 사이의 차이에 대한 엄밀한 상한을 수립하기 위해.
• 이 차이를 일반화된 분산과 엔트로피 측도, 특히 선형 엔트로피와 von Neumann 엔트로피와 연결하기 위해.
• 모든 헤르미트 연산자에 대해 평균 QFI를 분석하고, 이와 von Neumann 엔트로피 및 상태 순수도와의 관계를 규명하기 위해.
• Kubo-Mori-Bogoliubov QFI로 결과를 확장하여 상대 엔트로피와 선형 동역학과의 관계를 명확히 하기 위해.
• 실험적 양자 미세측정을 지원하기 위해 분산과 엔트로피와 같은 측정 가능한 양으로 QFI를 추정할 수 있는 정량적 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• QFI가 분산으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 수량화하는 양 $ V(\varrho,A) = (\Delta A)^2 - \frac{1}{4}F_{\rm Q}[\varrho,A] $ 를 도입한다.
• QFI가 분산으로부터 벗어나는 정도를 Petz (2002)와 Gibilisco 등 (2009)에서 정의한 일반화된 분산과 동일시함을 증명하며, 양자 정보 기하학과 연결한다.
• QFI의 상한을 선형 엔트로피에 비례하는 형태로 도출하여, 거의 순수 상태에서 이 값이 작다는 것을 보여준다.
• 트레이스로 정규화된 기저를 사용하여 모든 헤르미트 생성자에 대해 평균 QFI를 계산하고, 이를 상태의 고유값과 $ |A_{12}|^2 $ 의 평균으로 표현한다.
• 항등식 $ \sum_{k,l} \frac{(\lambda_k - \lambda_l)^2}{\lambda_k + \lambda_l} = d - H(\varrho) $ 를 이용하여 평균 QFI를 von Neumann 엔트로피와 연결한다.
• 상대 엔트로피를 통해 Kubo-Mori-Bogoliubov QFI를 분석하여, 작은 $ \theta $ 에 대해 $ F_{\rm Q}^{\log}[\varrho,A] \approx \frac{2}{\theta^2} S(\varrho \Vert \varrho_\theta) $ 를 유도하며, 선형 동역학과의 연결 고리를 밝힌다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분산과 $ F_{\rm Q}/4 $ 사이의 차이가 엔트로피 및 순수도와 같은 양자 정보 측도와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 분산과 엔트로피 양에만 기반하여 QFI를 하한으로 제약할 수 있는가?
• RQ3 모든 헤르미트 연산자에 대해 평균 QFI는 얼마이며, von Neumann 엔트로피에 어떻게 의존하는가?
• RQ4 Kubo-Mori-Bogoliubov QFI는 상대 엔트로피와 선형 동역학과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 다양한 순수도를 가진 상태에서 QFI/4가 분산을 어느 정도 근사하는가?

주요 결과

• 분산과 QFI/4의 차이 $ V(\varrho,A) = (\Delta A)^2 - \frac{1}{4}F_{\rm Q}[\varrho,A] $ 는 Petz (2002)와 Gibilisco 등 (2009)에서 정의한 일반화된 분산과 동일하다.
• 선형 엔트로피에 비례하는 상한이 유도되었으며, $ V(\varrho,A) \leq \frac{1}{2}(1 - \text{Tr}(\varrho^2)) $ 를 얻어 거의 순수 상태에서 이 값이 작다는 것을 보여준다.
• 질량 2인 상태에 대해서는 $ V(\varrho,A) = \frac{1}{2}(1 - \text{Tr}(\varrho^2)) $ 를 얻어 엄밀한 해석적 표현이 된다.
• 모든 헤르미트 연산자에 대해 평균 QFI는 $ \overline{F}_{\rm Q}[\varrho] = 4(d - H(\varrho)) \overline{|A_{12}|^2} $ 로 주어지며, 여기서 $ H(\varrho) $ 는 von Neumann 엔트로피이다.
• 평균 QFI는 순수 상태에서 최대가 되며, 이는 순수 상태가 미세측정에서의 우월성을 가짐을 확인한다. 또한 $ \overline{F}_{\rm Q}[\varrho] $ 는 상태에 대해 볼록함을 보여준다.
• Kubo-Mori-Bogoliubov QFI는 작은 $ \theta $ 에 대해 $ F_{\rm Q}^{\log}[\varrho,A] \approx \frac{2}{\theta^2} S(\varrho \Vert \varrho_\theta) $ 를 만족함을 보여주며, 상대 엔트로피와 선형 동역학과의 연결 고리를 확립한다.