[논문 리뷰] Lower large deviations and laws of large numbers for maximal flows through a box in first passage percolation

Raphaël Rossignol, Marie Théret|ArXiv.org|2008. 01. 07.

Stochastic processes and statistical mechanics인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{Z}^d$ 위에서의 제1통과 평형에서 최대 유량의 하한 대규변동 원리를 수립하며, 스케일링된 유량 $\tau/s$ 및 $\phi/s$가 비정상적으로 작을 확률이 표면적 $s$ 비례 속도로 지수적으로 감소함을 보여준다. 최적의 모멘트 조건 하에서 두 유량에 대한 대수의 법칙을 거의 가역성과 농도 불등식을 이용해 증명하며, 이는 이전 결과를 일반적인 상자 방향과 더 약한 모멘트 가정으로 확장한다.

ABSTRACT

We consider the standard first passage percolation model in $\mathbb{Z}^d$ for $d\geq 2$. We are interested in two quantities, the maximal flow $τ$ between the lower half and the upper half of the box, and the maximal flow $ϕ$ between the top and the bottom of the box. A standard subadditive argument yields the law of large numbers for $τ$ in rational directions. Kesten and Zhang have proved the law of large numbers for $τ$ and $ϕ$ when the sides of the box are parallel to the coordinate hyperplanes: the two variables grow linearly with the surface $s$ of the basis of the box, with the same deterministic speed. We study the probabilities that the rescaled variables $τ/s$ and $ϕ/s$ are abnormally small. For $τ$, the box can have any orientation, whereas for $ϕ$, we require either that the box is sufficiently flat, or that its sides are parallel to the coordinate hyperplanes. We show that these probabilities decay exponentially fast with $s$, when $s$ grows to infinity. Moreover, we prove an associated large deviation principle of speed $s$ for $τ/s$ and $ϕ/s$, and we improve the conditions required to obtain the law of large numbers for these variables.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 상자 방향과 높이 함수에 대해 $\mathbb{Z}^d$ 위에서의 제1통과 평형에서 최대 유량 $\tau$ 및 $\phi$에 대한 하한 대규변동 원리를 수립한다.
• $\tau$ 및 $\phi$에 대한 대수의 법칙이 요구하는 모멘트 조건을 개선하며, 특히 무리수 방향과 직선이 아닌 상자에 대해 고려한다.
• 하한 대규변동 확률이 표면적 $s$에 대해 지수적으로 감소함을 보여, 속도 $s$에서 대규변동 원리를 확립한다.
• Kesten과 Zhang의 $\phi$에 대한 대수의 법칙 결과를 더 일반적인 상자 기하학과 더 약한 모멘트 가정으로 확장한다.
• 적절한 조건 하에서 $\phi$의 속도 함수가 $\tau$의 것과 일치함을 보이며, 기존의 상한 대규변동 결과를 활용한다.

제안 방법

• 무리수 방향에서의 가역성 손실을 피하기 위해 최대 유량 $\tau_n$의 거의 가역성을 사용한다.
• 스케일링된 유량의 하측 꼬리 확률을 제어하기 위해 농도 불등식과 지수 모멘트 경계를 적용한다.
• 절단을 통해 유한한 용량 분포로의 환원을 시행한 후, 쌍용 논증을 통해 일반 분포로 결과를 확장한다.
• 적당한 조건 하에서 $\phi$와 $\tau$가 동일한 속도 함수를 가진다는 핵심 보조정리(보조정리 6.1)에 의존한다.
• Théret(2007)의 $\phi$의 상한 꼬리에 대한 대규변동 원리를 이용해 대칭성과 쌍대성에 의해 하한 꼬리 분석를 완성한다.
• 파투의 보조정리와 균일 적분 가능성을 적용하여 거의 확실 수렴을 $L^1$ 수렴으로 향상시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 상자 방향에 대해 스케일링된 최대 유량 $\tau/s$가 그 점근적 값보다 현저히 작을 확률의 감쇠 속도는 무엇인가?
• RQ2 서브가역성이 실패하는 무리수 방향에서 $\tau_n$에 대한 대수의 법칙이 성립하는 모멘트 조건은 무엇인가?
• RQ3 직선이 아니거나 평평한 실린더 또는 일반적인 초직육면체 상자에 대해 $\phi_n$에 대한 하한 대규변동 원리를 확립할 수 있는가?
• RQ4 동일한 조건 하에서 $\phi_n$의 하방 대규변동에 대한 속도 함수가 $\tau_n$과 동일한가?
• RQ5 Kesten과 Zhang의 원래 결과에 비해 $\phi_n$에 대한 대수의 법칙이 요구하는 모멘트 조건을 약화시킬 수 있는가?

주요 결과

• 어느 상자 방향에 대해서든 $\tau_n/s$가 비정상적으로 작은 확률은 표면적 $s$에 대해 지수적으로 감소한다.
• $\phi_n$의 경우, 상자가 평평하거나 좌표 초평면에 평행한 면을 갖는다면 하한 대규변동 확률이 지수적으로 감소한다.
• 적절한 조건 하에서 $\tau_n/s$ 및 $\phi_n/s$에 대해 속도 $s$의 대규변동 원리가 확립되며, 동일한 속도 함수를 가진다.
• 최적의 모멘트 조건 $\mathbb{E}[t(e)^{d-1}] < \infty$ 하에서, 임의의 고정된 방향(무리수 포함)에서 $\tau_n$에 대한 대수의 법칙이 성립한다.
• $\phi_n$의 경우 더 약한 모멘트 조건과 높이 조건 $\log h(n)/n^{d-1} \to 0$ 하에서 대수의 법칙이 성립하며, Kesten과 Zhang의 결과를 개선한다.
• 동일한 조건 하에서 $\phi_n$의 속도 함수가 $\tau_n$의 것과 일치함을 보이며, 두 유량 간 깊은 연결성을 확인한다.