[논문 리뷰] Lower-Order Biases Second Moments of Dirichlet Coefficients in Families of $L$-Functions

Megumi Asada, Ryan Chen외 10명|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 18.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 23인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 L-함수의 가족들에 대한 딜리클레 계수의 두 번째 모멘트에서의 저차항 편향을 조사한다. 특히 타원곡선, 딜리클레 특성, 정형 모듈라 형식을 중심으로 다룬다. 코homological 기법과 명시적 특성 합 계산을 통해 저자들은 많은 가정들, 즉 일정한 j-불변량, 복소 곱승, 양의 랭크를 가진 가정들에서, 두 번째 모멘트 전개에서 가장 큰 평균화되지 않은 저차항이 항상 평균적으로 음수임을 증명한다. 이는 편향 추측을 지지하며, 초중앙점 근처의 영점 분포와 초과 랭크 추측과 연결된다.

ABSTRACT

Let $\mathcal E: y^2 = x^3 + A(T)x + B(T)$ be a nontrivial one-parameter family of elliptic curves over $\mathbb{Q}(T)$, with $A(T), B(T) \in \mathbb Z(T)$, and consider the $k$ extsuperscript{th} moments $A_{k,\mathcal{E}}(p) := \sum_{t (p)} a_{\mathcal{E}_t}(p)^k$ of the Dirichlet coefficients $a_{\mathcal{E}_t}(p) := p + 1 - |\mathcal{E}_t (\mathbb{F}_p)|$. Rosen and Silverman proved a conjecture of Nagao relating the first moment $A_{1,\mathcal{E}}(p)$ to the rank of the family over $\mathbb{Q}(T)$, and Michel proved that if $j(T)$ is not constant then the second moment is equal to $A_{2,\mathcal{E}}(p) = p^2 + O(p^{3/2})$. Cohomological arguments show that the lower order terms are of sizes $p^{3/2}, p, p^{1/2}$, and $1$. In every case we are able to analyze in closed form, the largest lower order term in the second moment expansion that does not average to zero is on average negative, though numerics suggest this may fail for families of moderate rank. We prove this Bias Conjecture for several large classes of families, including families with rank, complex multiplication, and constant $j(T)$-invariant. We also study the analogous Bias Conjecture for families of Dirichlet characters, holomorphic forms on GL$(2)/\mathbb{Q}$, and their symmetric powers and Rankin-Selberg convolutions. We identify all lower order terms in large classes of families, shedding light on the arithmetic objects controlling these terms. The negative bias in these lower order terms has implications toward the excess rank conjecture and the behavior of zeros near the central point in families of $L$-functions.

연구 동기 및 목표

• L-함수 가정들에 대한 딜리클레 계수의 두 번째 모멘트에서의 저차항 편향의 존재성과 성격을 조사하는 것.
• 두 번째 모멘트 전개에서 가장 큰 평균화되지 않은 저차항이 다양한 L-함수 가정들 전반에서 일관되게 음수인지 여부를 판단하는 것.
• 타원곡선을 넘어서 딜리클레 특성, GL(2)/Q 위의 정형 촉점 형식, 그리고 그들의 대칭 거듭제곱과 랭킨-셀버그 합성에 대한 분석을 확장하는 것.
• 이러한 편향이 초과 랭크 추측과 L-함수 가정에서 중심점 근처의 영점 분포에 미치는 영향을 탐색하는 것.
• 저차항을 제어하는 산술 대상들을 특정하고, 랭크가 높은 가정들에서도 편향이 지속되는지 평가하는 것.

제안 방법

• 두 번째 모멘트를 p², p^{3/2}, p, p^{1/2}, 1 크기의 항들로 분해하기 위해 코homological 추론을 사용하여 주요 평균화되지 않은 저차항을 분리한다.
• 특성 합 기법과 레지오드 심볼 평가를 활용하여, 특히 일정한 j-불변량을 가진 가정들에서 타원곡선의 소수 모듈로에서의 점 수를 정확히 계산한다.
• 가우스 합 항등식과 이차 상호법칙을 적용하여 유한체 위의 합을 평가하며, 특히 x² + xy + y² ≡ 0 mod p 및 관련 딜로프티안 조건을 포함한 경우에 초점을 맞춘다.
• T로 매개변수화된 타원곡선 가정들, 예를 들어 y² = x³ - T^r A x 및 y² = x³ + T^r B를 분석하여 k-번째 모멘트에 대한 닫힌 표현식을 유도한다.
• GL(1) 가정(딜리클레 특성)과 GL(2) 가정(촉점 형식)으로 결과를 확장하며, L-함수의 성질과 대칭 거듭제곱 상승의 특성을 활용한다.
• 수치적 자료와 계산 히우리스틱을 활용하여, 닫힌 표현식이 없는 경우에 주로 고려되는 고랭크 가정과 고차 모멘트에서의 편향 행동을 테스트한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 L-함수 가정 전반에서 딜리클레 계수의 두 번째 모멘트에서 가장 큰 평균화되지 않은 저차항이 일관되게 평균적으로 음수인가?
• RQ2 두 번째 모멘트 전개의 저차항이 랭크, 복소 곱승, j-불변량과 같은 산술 불변량과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 특히 랭크 ≥ 4인 고랭크 가정들에서 두 번째 모멘트의 음수 편향이 지속되는가?
• RQ4 고차 모멘트(예: 네 번째, 여섯 번째)에서의 편향은 수치적으로 탐지 가능하며, 저랭크 가정들에서는 여전히 음수인가?
• RQ5 두 번째 모멘트에서 주요 평균화되지 않은 저차항의 코homological 또는 산술적 기원은 무엇인가?

주요 결과

• 일정한 j-불변량, 복소 곱승, 또는 양의 랭크를 가진 모든 타원곡선 가정들에서, 두 번째 모멘트에서 가장 큰 평균화되지 않은 저차항은 평균적으로 음수이며, 이는 편향 추측을 지지한다.
• 선형 타원곡선 가정의 두 번째 모멘트 전개는 크기 p³ - 2p² - 2(p² - p)(-3/p)의 항을 포함하며, 이는 p² 항에서 음수 편향을 확인한다.
• j-불변량이 0 또는 1728인 가정들에서는 명시적 계산을 통해 두 번째 모멘트에 -2p²(1 + (-3/p)) 항이 존재함을 보이며, j=0의 경우와 유사한 구조가 j=1728의 경우에도 존재하여 평균 음수 편향에 기여한다.
• 수치적 증거는 고랭크 가정들(랭크 ≥ 4)에서는 편향이 반전되어 양수가 될 수 있음을 시사하며, 행동에서 잠재적인 단계 전이가 있을 수 있음을 나타낸다.
• 고차 모멘트(네 번째, 여섯 번째)의 경우 주요 평균화되지 않은 항은 크기 p^{5/2} 또는 p^{7/2}이며, 자료는 저랭크 가정들에서는 음수 편향이 있음을 시사하지만, 더 큰 평균화 항들에 의해 가려질 수 있다.
• 홀수 모멘트(2k+1)의 주요 항의 평균은 -C_{k+1} r p^{k+1}로 나타나며, 여기서 C_n은 n번째 카탈란 수이다. 이는 홀수 모멘트에서도 체계적인 음수 편향이 있음을 나타낸다.