[논문 리뷰] Lowest order stabilization free Virtual Element Method for the 2D Poisson equation

Stefano Berrone, Andrea Borio외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 03. 31.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 2차원 푸아송 방정식에 대한 안정화 자유 가상요소법(E²VEM)을 제안하며, 고차 다항식 사영을 통해 국소 가상공간을 향상시켜 안정화 항을 필요로 하지 않고도 강제성(coercivity)을 확보한다. 이 방법은 볼록 및 비볼록, 이방성 다각형 메시를 포함한 다양한 다각형 메시에서 최적의 H¹ 및 L² 수렴률을 달성하며, 다양한 정점 수를 가진 다각형 요소에서의 수치 실험을 통해 검증되었다.

ABSTRACT

We introduce and analyse the first order Enlarged Enhancement Virtual Element Method (E$^2$VEM) for the Poisson problem. The method allows the definition of bilinear forms that do not require a stabilization term, thanks to the exploitation of higher order polynomial projections that are made computable by suitably enlarging the enhancement (from which comes the prefix of the name E$^2$) property of local virtual spaces. The polynomial degree of local projections is chosen based on the number of vertices of each polygon. We provide a proof of well-posedness and optimal order a priori error estimates. Numerical tests on convex and non-convex polygonal meshes confirm the criterium for well-posedness and the theoretical convergence rates.

연구 동기 및 목표

• 가상요소법에서 안정화 항의 필요성을 제거하기 위해 국소 다항식 사영을 향상시키는 것.
• 임의의 다각형 요소를 가진 다각형 메시에서 2차원 푸아송 문제에 대한 안정화 자유 수식을 개발하는 것.
• 최저차수 수식에 대해 잘 정의되어 있고 최적의 사전 오차 추정치를 증명하는 것.
• 볼록, 비볼록, 이방성 다각형 메시에서 방법의 수치적 검증을 수행하는 것.
• 고차 다항식 사영이 안정화 없이도 강제성을 보장함으로써 도전적인 경우에서의 강인성을 향상시킬 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 가상요소 공간에 더 넓은 강화(E²)를 도입하여 고차 다항식 사영을 계산할 수 있도록 한다.
• 다항식 사영만을 사용하여 국소 이차형식을 구성함으로써 안정화 항의 필요성을 제거한다.
• 각 다각형의 정점 수에 따라 사영의 다항식 차수를 선택하며, l ≥ ℓ̂(N_E^V) 조건을 만족시켜 강제성을 확보한다.
• 사영 차수에 대한 충분한 조건을 만족할 경우, 강화된 공간 구조에 기반하여 문제의 잘 정의됨을 증명한다.
• 표준 VEM과 일치하는 국소 사영과 자유도를 사용하여 이산 문제를 수립함으로써 동일한 자유도 수를 유지한다.
• 수치 검증은 삼각형, 육각형, 팔각형, 16각형, 32각형 및 비볼록 다각형을 포함한 메시 시퀀스를 사용하며, l는 국소 강성 행렬의 질량 분석에 기반하여 선택된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다항식 사영만을 사용하여 2차원 푸아송 방정식에 대한 안정화 자유 가상요소법을 구성할 수 있는가?
• RQ2 N_V개의 정점을 가진 다각형에 대해 이산 이차형식의 강제성을 보장하기 위해 필요한 최소 다항식 차수 l는 얼마인가?
• RQ3 안정화 항이 없는 경우 비볼록 또는 이방성 다각형 메시에서 수렴률에 영향을 미치는가?
• RQ4 정점 수에 기반한 l의 선택이 방법의 조건수와 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 제안된 E²VEM 수식이 안정화 없이도 최적의 H¹ 및 L² 수렴률을 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 테스트된 다각형 메시, 비볼록 및 이방성 케이스를 포함하여 E²VEM 수식이 최적의 H¹ 수렴률 O(h)을 달성한다.
• 수치 결과에 의해 확인된 linemate의 보조 자료에 따르면 최적의 L² 수렴률 O(h²)가 관찰된다.
• N_V개의 정점을 가진 다각형에 대해 ℓ̂(N_V) 조건을 만족하는 최소 l는 강제성을 보장하며, 육각형과 팔각형의 경우 ℓ̂(N_V) = 2, 16각형의 경우 ℓ̂(N_V) = 3이다.
• 비볼록 케이스, 예를 들어 중심으로 수축된 중앙변 정점들을 가진 팔각형에서는 l = 2(즉, ℓ̂(8) = 2)로도 강제성이 유지된다.
• 정렬된 변이나 높은 정점 수를 가진 메시, 예를 들어 16면체 및 24면체 다각형에서도 최적의 수렴이 유지된다.
• 수치 결과는 안정화가 없는 경우 이방성 확산 문제에서 성능 향상이 이루어짐을 확인하며, 이는 이전 연구 [18] 에서도 보고된 linemate이다.