[논문 리뷰] Lowest order stabilization free Virtual Element Method for the Poisson equation

Stefano Berrone, Andrea Borio외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 03. 31.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 38인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 안정화 항을 제거하기 위해 특수 이차형식을 구성함으로써, 푸아송 방정식에 대한 1차 확장 강화 가상요소법(E²VEM)을 소개한다. 이 방법은 잘 정의된 문제를 보장하고 최적 수렴 속도를 달성하며, 볼록 및 비볼록 다각형 메esh에서 수치적으로 검증된다.

ABSTRACT

We introduce and analyse the first order Enlarged Enhancement Virtual Element Method (E$^2$VEM) for the Poisson problem. The method has the interesting property of allowing the definition of bilinear forms that do not require a stabilization term. We provide a proof of well-posedness and optimal order a priori error estimates. Numerical tests on convex and non-convex polygonal meshes confirm the theoretical convergence rates.

연구 동기 및 목표

• 안정화 항을 포함하지 않는 푸아송 문제를 위한 가상요소법을 개발하기 위해.
• 안정화 없이도 이산 형식의 잘 정의됨을 보장하기 위해.
• 가상요소 프레임워크 내에서 최적 순서의 사전 오차 추정을 달성하기 위해.
• 볼록 및 비볼록 다각형 메쉬에서 수치적으로 방법을 검증하기 위해.

제안 방법

• 푸아송 문제에 대한 1차 확장 강화 가상요소법(E²VEM)을 제안한다.
• 명시적인 안정화 항이 필요 없이 안정성을 내재적으로 만족하는 이차형식을 설계한다.
• 근사 성질을 향상시키기 위해 향상된 다항식 차수를 포함한 가상요소 공간을 활용한다.
• 비일관 이산화를 다루기 위해 약한 갈레르킨 접근법에 기반한 변분 형식을 사용한다.
• 국소 및 전역 자유도를 정의하여, 가상 함수의 내적만을 사용해 전역 강성 행렬을 구성한다.
• 결과로 얻어진 이산 문제의 잘 정의됨을 증명하고, 에너지 노름에서 최적 수렴을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 푸아송 방정식을 위한 가상요소법을 안정화 항 없이 구성할 수 있는가, 이때 안정성과 수렴성을 유지할 수 있는가?
• RQ2 안정화 없이도 이산 형식의 잘 정의됨을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 제안된 방법은 일반적인 다각형 메쉬에서 최적 순서의 사전 오차 추정을 달성하는가?
• RQ4 이 방법은 볼록 및 비볼록 다각형 메쉬에서 수치적으로 어떻게 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• 제안된 E²VEM 형식은 어떤 안정화 항도 필요 없이 잘 정의됨을 입증하였다.
• 이 방법에 대해 에너지 노름에서 최적 순서의 사전 오차 추정이 증명되었다.
• 수치 실험을 통해 볼록 및 비볼록 다각형 메쉬에서 최적 수렴 속도가 확인되었다.
• 안정화 자유 형식 덕분에 높이 기울어진 다각형 요소에서도 최적 수렴을 달성하였다.
• 안정화의 부재로 인해 표준 VEM에 비해 구현이 단순해지고 계산 비용이 감소하였다.
• 다양한 다항식 차수의 근사에서 최적 수렴이 유지되어 실용적이고 강건함을 입증하였다.