[논문 리뷰] Lp expander Complexes

Amitay Kamber|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 31.

Graph theory and applications참고 문헌 18인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Iwahori-Hecke 대수의 표현 이론을 사용하여, 고차원 빌딩으로의 확장 그래프와 Ramanujan 그래프의 통합 일반화로 $L_p$-확산 복합체를 도입한다. 이 복합체에서 조합적 연산자의 명시적 스펙트럼 간격을 확립하고, Ihara 제타 함수를 일반화하여, 복합체가 Ramanujan임과 그 제타 함수가 리만 가설을 만족함이 서로 동치임을 증명한다.

ABSTRACT

We discuss two combinatorical ways of generalizing the definition of expander graphs and Ramanujan graphs, to quotients of buildings of higher dimension. The two possible definitions are equivalent for affine buildings, giving the notion of an Lp-expander complex. We calculate explicit spectral gaps on many combinatorical operators, on any Lp-expander complex. We associate with any complex a natural "zeta function", generalizing the Ihara-Hashimoto zeta function of a finite graph. We generalize a well known theorem of Hashimoto, showing that a complex is Ramanujan if and only if the zeta function satisfies the Riemann hypothesis.

연구 동기 및 목표

• 표현 이론을 사용하여 확장 그래프와 Ramanujan 그래프를 고차원 단체 복합체로 일반화한다.
• $L^2(\Gamma\backslash G)$에서의 행렬 계수의 $p$-온화성 조건을 통해 $L_p$-확산 복합체를 정의하며, 이는 $p=2$의 경우를 일반화한다.
• $L_p$-확산 복합체에서의 조합적 연산자에 대한 명시적 스펙트럼 간격을 확립한다.
• Ihara-Hashimoto 제타 함수를 일반화한 제타 함수를 정의하고, 이 제타 함수가 리만 가설을 만족함과 복합체가 Ramanujan임이 서로 동치임을 증명한다.
• 성질 (T)를 가진 국소체 위의 단순군에 대한 애매한 빌딩의 몫이 $L_p$-확산자임을 보이며, Margulis의 구성으로 일반화한다.

제안 방법

• 아핀 빌딩에서의 $W$-거리 측도를 사용하여 칸버와 칸버 사이의 거리를 정의하고, 구면 평균 연산자 $\rho_{C_0}$를 정의한다.
• 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $L_2^0$ 함수의 역상이 $L_{p+\epsilon}(B_\phi)$에 속한다는 조건을 통해 $L_p$-확산 복합체를 정의하며, Ramanujan 그래프를 일반화한다.
• 거리 $w$에서 칸버 수를 세는 연산자 $h_w$로 생성되는 Iwahori-Hecke 대수 $H_\phi$를 적용하며, 표준 Hecke 관계를 만족한다.
• 호더 부등식과 계수 $\alpha_{\cdot,\cdot}$ 및 $Q_{\beta'}$에 대한 조합적 경계를 사용하여 $h_\beta$에 대한 $L_p$ 연산자 노름 경계를 유도한다.
• Ihara-Hashimoto 제타 함수를 고차원으로 일반화하여 복합체에 대한 제타 함수를 구성한다.
• 스펙트럼 및 표현 이론적 도구를 사용하여, 복합체가 Ramanujan임과 그 제타 함수가 리만 가설을 만족함이 서로 동치임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표현 이론적 기준을 사용하여 Ramanujan 그래프의 개념을 고차원 복합체로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 성질 (T)를 가진 국소체 위의 단순군에 관련된 아핀 빌딩의 몫이 $p > 2$에 대해 $L_p$-확산을 만족하는가?
• RQ3 Ihara-Hashimoto 제타 함수를 일반화한 고차원 제타 함수가 존재하며, 복합체가 Ramanujan임과 동시에 리만 가설을 만족함이 서로 동치인가?
• RQ4 $L_p$-확산 복합체에서의 조합적 연산자에 대한 명시적 스펙트럼 간격은 무엇인가?
• RQ5 $p$-온화성 표현이 빌딩의 몫에서의 $L_p$-확산 성질과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 비아르키메데스 국소체 위의 단순군에 관련된 빌딩의 유한 몫 복합체 $X$는 $k$-랭크 $\geq 2$이면 항상 $L_{p_0}$-확산자이며, $p_0$는 아핀 코엑스터 타입에 따라 달라진다.
• $\tilde{A}_n$의 경우, $\|h_\beta\|_p$에 대한 스펙트럼 간격은 $\left|W_0\right| \cdot |2q_{\text{max}}|^{l(\tilde{w}_0)} \cdot (l(\beta)+1)^{l(\tilde{w}_0)} \cdot q_\beta^{(p-1)/p}$이다.
• $L_p$-확산 복합체의 제타 함수는 복합체가 Ramanujan임과 동시에 리만 가설을 만족함이 서로 동치이다.
• $L_2$-확산 조건(즉, Ramanujan 성질)은 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $L_{2+\epsilon}$-확산과 동치이며, 고전적 정의를 일반화한다.
• $L_p$-확산 조건은 $L^2(\Gamma\backslash G)$의 모든 부분표현 중에서 Iwahori 고정점을 가진 것들의 $p$-온화성과 동치이다.
• $h_\beta$에 대한 스펙트럼 간격은 모든 칸버와 색상에 대해 일관되므로, 정점 외의 고차원 면에 대한 분석이 가능하다.