[논문 리뷰] Lp-integrability of the gradient of solutions to quasilinear systems with discontinuous coefficients

Lubomira G. Softova|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 24.

Nonlinear Partial Differential Equations인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Reifenberg-평탄한 도메인 내에서 계수에 불연속성이 있는 비선형 타원형 및 포아송형 시스템의 약한 해의 기울기의 $L^p$-적분 가능성성을 확립한다. BMO 계수, 제어된 성장 조건 및 수정된 Gehring 유형의 보조정리(lemma)를 활용하여, $p > 2$ 일 때 $D\mathbf{u} \in L^p$ 임을 증명하며, 이 $p$ 는 데이터에 명시적으로 의존한다. 이는 자연스러운 $L^2$ 설정을 초월하여 정규성 결과를 확장한다.

ABSTRACT

The Dirichlet problem for a class of quasilinear elliptic systems of equations with small-BMO coefficients in Reifenberg-flat domain is considered. The lower order terms supposed to satisfy controlled growth conditions. It is obtained Lp-integrability with p>2 of the gradient of the solution where p depends explicitly on the data. An analogous result is obtained also for the Cauchy-Dirichlet problem for quasilinear parabolic systems.

연구 동기 및 목표

• 불연속 계수를 가진 비선형 타원형 및 포아송형 시스템의 약한 해에 대해 기울기 $D\mathbf{u}$ 의 고차적 적분 가능성(higher integrability)을 확립하는 것.
• 해의 정규성(regularity)을 $\mathbf{u}$ 와 $D\mathbf{u}$ 에 대한 하위항의 제어된 성장 조건 하에서 분석하는 것.
• 낮은 정규성(Reifenberg-평탄한) 도메인에서 소규모 BMO 계수를 가진 시스템에 대해 Calderón–Zygmund 유형의 추정치를 확장하는 것.
• 적분 가능성 지수 $p$ 가 데이터에 어떻게 의존하는지 명시적으로 도출하는 것. 특히 하위항의 $L^p$ 및 $L^q$ 노름에 대한 의존성.
• 근사화 및 경계 추적 정리(trace theorems)를 통해 스무스 또는 리프시츠 도메인에서 비롯된 결과를 더 넓은 범주인 Reifenberg-평탄한 도메인으로 일반화하는 것.

제안 방법

• 제어된 성장 조건과 소규모 BMO 계수를 갖는 시스템에 적합하게 수정된 Gehring 보조정리의 버전을 사용하는 것.
• 하위항의 제어된 성장 조건이 존재하는 상황에서, 기울기 $D\mathbf{u}$ 에 대한 역 헬더 부등식(reverse Hölder inequality)을 통해 Calderón–Zygmund 성질을 적용하는 것.
• 하위항에서 $\mathbf{u}$ 와 $D\mathbf{u}$ 를 고정하여 비선형 시스템을 선형 시스템으로 선형화하는 것.
• 더 큰 $C^2$ 도메인 $\Omega'$ 로 데이터를 확장하고, 열과 타원형 연산자에 대한 기존의 $L^q$ 추정치를 활용하여 $Q = \Omega \times (0,T)$ 내에서 해를 제어하는 것.
• Reifenberg-평탄한 경계에 대해 추적 정리를 적용하여 $F^i|_S \in W^{2-1/q_1, 1-1/(2q_1)}(S)$ 임을 확보함으로써 선형화된 시스템에서 경계 제어를 가능하게 하는 것.
• 초기 $r_0$-정규성과 지수 비율에 따라 결정되는 $k$ 번의 반복적 개선을 통해 기울기의 적분 가능성 지수 $p$ 를 점진적으로 향상시키는 부트스트랩(bootstrapping) 추론을 사용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Reifenberg-평탄한 도메인 내에서 계수에 불연속성이 있는 비선형 타원형 시스템에 대해 기울기 $D\mathbf{u}$ 의 $L^p$-적분 가능성성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 적분 가능성 지수 $p > 2$ 는 데이터에 어떻게 의존하는가? 특히 하위항의 $L^p$ 및 $L^q$ 노름에 대해 어떻게 의존하는가?
• RQ3 소규모 BMO 계수와 제어된 성장 조건을 가진 비선형 포아송형 시스템이 Reifenberg-평탄한 시공간 실린더 내에서 Calderón–Zygmund 성질을 만족하는가?
• RQ4 근사화 및 경계 추적 이론을 통해 스무스 또는 리프시츠 도메인에서의 정규성 결과를 더 일반적인 Reifenberg-평탄한 도메인으로 확장할 수 있는가?
• RQ5 기울기 $D\mathbf{u}$ 가 $p > 2$ 에 대해 $L^p$-적분 가능성이 되기 위해 필요한 최소 부트스트랩 단계 수 $k$ 는 얼마인가?

주요 결과

• 모든 유계 약한 해 $\mathbf{u} \in W_0^{1,2} \cap L^\infty(\Omega; \mathbb{R}^N)$ 에 대해 기울기 $D\mathbf{u}$ 는 $p > 2$ 에 대해 $L^p(\Omega; \mathbb{R}^{N \times n})$ 에 속하며, 이 $p$ 는 데이터에 명시적으로 의존한다.
• 적분 가능성 지수 $p$ 는 $p = \min\{p, q^*\}$ 를 만족하며, 여기서 $q^*$ 는 $q$ 의 소볼레프 공액(Conjugate)이며, $q > \frac{2n}{n+2}$ 이므로 주어진 조건 하에서 $p > 2$ 가 보장된다.
• 포아송형 경우, $\|D\mathbf{u}\|_{r,Q} \leq N$ 이 모든 $r \in [2, r_0)$ 에 대해 성립하며, $r_0 > 2$ 이고 $r_0$ 는 데이터와 $\|D\mathbf{u}\|_{2,Q}$ 에 의존한다.
• $k$ 번의 부트스트랩 반복 후, $D\mathbf{u} \in L^p$ 가 되며, 이 $p$ 는 $r_0$, $n$, 그리고 제어된 성장 조건의 지수에 따라 의존한다.
• 결과는 타원형 및 포아송형 시스템 모두에 대해 성립하며, 포아송형 경우는 $C^2$ 도메인으로의 확장과 Reifenberg-평탄한 경계에 대한 추적 정리를 활용한다.
• 최종 추정치 $\|D\mathbf{u}\|_{r_1,Q} \leq C(1 + \|\mathbf{f}\|_{q_1,Q} + \|\mathbf{A}\|_{p,Q})$ 는 하위항의 노름에 대한 적분 가능성의 의존성을 확인한다.