[논문 리뷰] Luenberger observers for infinite-dimensional systems, Back and Forth Nudging and application to a crystallization process

Lucas Brivadis, Vincent Andrieu외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 03.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 21인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 약한 관측 가능성 조건 하에 시간에 따라 변하는 무한차원 시스템에 대해 Luenberger 관측기를 개발하며, 이는 약한 위상에서 점점 가까워지는 상태 추정과 추가 조건 하에서 강한 수렴을 가능하게 한다. 이는 주기적 경계 조건을 가진 일차원 이동 방정식으로 모델링된 결정화 공정에서 초기 상태를 복원하기 위해 Back and Forth Nudging 알고리즘을 적용하며, 현미경적 길이 분포 데이터로부터 결정 크기 분포를 추정한다.

ABSTRACT

This paper deals with the observer design problem for time-varying linear infinite-dimensional systems. We address both the problem of online estimation of the state of the system from the output via an asymptotic observer, and the problem of offline estimation of the initial state via a Back and Forth Nudging (BFN) algorithm. In both contexts, we show under a weak detectability assumption that a Luenberger-like observer may reconstruct the so-called observable subspace of the system. However, since no exact observability hypothesis is required, only a weak convergence of the observer holds in general. Additional conditions on the system are required to show the strong convergence. We provide an application of our results to a batch crystallization process modeled by a one-dimensional transport equation with periodic boundary conditions, in which we try to estimate the Crystal Size Distribution from the Chord Length Distribution.

연구 동기 및 목표

• 정확한 관측 가능성 조건 없이도 시간에 따라 변하는 선형 무한차원 시스템의 상태 추정 문제를 다루는 것.
• 약한 관측 가능성 조건이 성립할 때, 오프라인 초기 상태 복원을 위한 Back and Fororth Nudging 알고리즘을 확장하는 것.
• 관측 가능 부분공간에서 관측기의 약한 수렴을 확립하고, 추가 시스템 가정 하에서 강한 수렴을 도출하는 것.
• 시간에 따라 변하는 이동 방정식으로 모델링된 실세계의 배치 결정화 공정에 이 이론적 프레임워크를 적용하는 것.
• 표준 방법으로 직접 관측할 수 없는 현미경적 길이 분포 측정값으로부터 결정 크기 분포를 추정하는 것.

제안 방법

• 약한 관측 가능성 조건 하에 시간에 따라 변하는 무한차원 시스템에 대해 Luenberger 유사 관측기를 제안하며, 동일한 출력을 가진 궤도 간의 거리가 감소하지 않는 조건을 만족한다.
• 정방향과 역방향으로 시간을 번갈아가며 반복 실행하는 Back and Forth Nudging (BFN) 알고리즘을 도입하여 초기 상태를 복원한다.
• 관측 가능 부분공간의 개념을 사용하며, 이는 시간 간격 동안 출력 측정치로 구분 가능한 상태의 집합으로 정의된다.
• 약한 관측 가능성 가정 하에 관측기가 관측 가능 부분공간에 대한 상태의 사영으로 약한 수렴을 보임을 증명한다.
• 시스템의 추가적인 구조적 성질(예: 소산성 또는 스펙트럼 성질)이 만족될 경우 강한 수렴이 달성됨을 유도한다.
• 일차원 이동 방정식과 주기적 경계 조건을 가진 모델을 사용하여 프레임워크를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정확한 관측 가능성 조건 없이도 시간에 따라 변하는 무한차원 시스템에 대해 Luenberger 관측기를 설계할 수 있는가?
• RQ2 관측기가 관측 가능 부분공간으로 약하거나 강하게 수렴하는 조건는 무엇인가?
• RQ3 약한 관측 가능성만 확보된 시간에 따라 변하는 시스템에서 Back and Forth Nudging 알고리즘이 초기 상태를 복원할 수 있는가?
• RQ4 제안된 관측기 프레임워크는 정확한 관측 가능성 조건이 없이도 실세계의 결정화 공정에 어떻게 적용되는가?
• RQ5 이동 기반 결정화 모델에서 현미경적 길이 분포 데이터로부터 결정 크기 분포를 추정하는 것이 가능한가?

주요 결과

• 약한 관측 가능성 조건 하에 Luenberger 관측기는 관측 가능 부분공간에 대한 상태의 사영으로 약한 수렴을 보인다.
• 추가적인 시스템 특성 조건(예: 소산성 또는 스펙트럼 성질)이 만족될 경우 관측기의 강한 수렴이 달성된다.
• 제안된 결정화 모델에서 Back and Forth Nudging 알고리즘은 정확한 관측 가능성 조건 없이도 강한 위상에서 초기 상태를 성공적으로 복원한다.
• 이론적 프레임워크는 주기적 경계 조건을 가진 일차원 이동 방정식으로 모델링된 배치 결정화 공정에 적용되었다.
• 이 방법은 FBRM® 기반 시스템에서 유일하게 이용 가능한 온라인 측정값인 현미경적 길이 분포 데이터로부터 결정 크기 분포를 추정할 수 있도록 한다.
• 분석 결과 시스템은 정확하게 관측 가능하지 않으며, 이는 제안된 약한 수렴 관측기 프레임워크의 필요성을 뒷받침한다.