[논문 리뷰] Lusztig Correspondence and Howe Correspondence for Finite Reductive Dual Pairs

Shu-Yen Pan|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 04.

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한 줄 요약

이 논문은 홀수 표수를 가진 유한체 위의 유한 반단순 쌍대 쌍 $(\mathrm{Sp}_{2n}, \mathrm{O}^\epsilon_{2n'})$ 에서 Lusztig 대응과 Howe 대응 사이의 교환 법칙(부호 변형을 제외한)을 확립한다. 단순 원소를 통한 쌍대 쌍의 분해와 수정된 Lusztig 대응을 사용하여, 무일관성 인코어의 Howe 대응을 Lusztig의 무일관성 문자의 매개변수화를 통해 명시적으로 기술함으로써, 이 대응의 완전한 대수적 특성화를 제공한다.

ABSTRACT

Let $(G,G')$ be a reductive dual pair of a symplectic group and an orthogonal group over a finite field of odd characteristic. The Howe correspondence establishes a correspondence between a subset of irreducible characters of $G$ and a subset of irreducible characters of $G'$. The Lusztig correspondence is a bijection between the Lusztig series indexed by the conjugacy class of a semisimple element $s$ in the connected component $(G^*)^0$ of the dual group of $G$ and the set of irreducible unipotent characters of the centralizer of $s$ in $G^*$. In this paper, we prove the commutativity (up to a twist of the sign character) between these two correspondences. As a consequence, the Howe correspondence can be explicitly described in terms of Lusztig's parametrization for classical groups.

연구 동기 및 목표

• 유한체의 홀수 표수 위에서 유한 반단순 쌍대 쌍에 대해 Lusztig 대응과 Howe 대응 사이의 정확한 관계를 확립하는 것.
• 고전적 군에 대해 Lusztig의 무일관성 문자 매개변수화에 기반해 Howe 대응을 명시적으로 기술하는 것.
• Lusztig 대응의 모호성을 제거하기 위해 Howe 대응과 부호 변형을 제외한 교환 법칙을 만족하는 수정된 형태를 도입하는 것.
• 단순 원소 기반의 성분 분해를 통한 쌍대 쌍의 분해를 바탕으로 Howe 대응을 계산하는 통일된 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 단순 원소 $s$ 와 그 분해 $s = s^{(0)} \times s^{(1)} \times s^{(2)}$ 를 기반으로 쌍대 쌍 $(\mathrm{Sp}_{2n}, \mathrm{O}^\epsilon_{2n'})$ 을 세 성분 $G^{(0)}, G^{(1)}, G^{(2)}$ 로 분해한다.
• 불변성 문자의 $\mathcal{E}(G)_s$ 에서의 표현을 $\mathcal{E}(G^{(0)} \times G^{(1)} \times G^{(2)})_1$ 의 무일관성 문자의 텐서곱으로 매핑하는 수정된 Lusztig 대응 $\Xi_s$ 를 도입한다.
• Weil 문자의 균일한 사영을 사용하여 Proposition 2.5 및 식 (2.17) 에 정의된 명시적 기호 매개변수화를 통해 Howe 대응을 무일관성 문자와 연결한다.
• 쌍대 군의 중심자군 이론과 Lusztig 급수 이론을 적용하여 $\mathcal{E}(G)_s$ 와 $C_{G^*}(s)$ 의 무일관성 문자 사이의 관계를 설정함으로써 기존의 매개변수화를 활용할 수 있도록 한다.
• 성분 비교를 통해 Howe 대응과 수정된 Lusztig 대응 간의 호환 조건을 설정한다: $s^{(0)} = -s^{\prime(0)}$, $G^{(2)} \simeq G^{\prime(1)}$, $(\rho^{(1)}, \rho^{\prime(2)})$ 는 무일관성 Howe 대응에 속한다.
• Lusztig 대응의 비유일성에 대응하기 위해 부호 문자 $\mathrm{sgn}$ 을 사용하며, $\Xi_{s^\prime}^{-1}$ 의 이미지에서 부호 변형 성분의 네 가지 조합이 대응을 성립시키기 위해 필수적이고 충분하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Lusztig 대응은 어떤 방식으로 유한 심플렉틱-직교 쌍대 쌍에서 Howe 대응과 상호작용하는가?
• RQ2 Howe 대응은 Lusztig의 무일관성 문자 매개변수화를 통해 완전히 기술될 수 있는가?
• RQ3 쌍대 쌍의 성분과 해당 표현 간의 관계는 두 대응 모두에서 정확히 어떻게 되는가?
• RQ4 부호 변형과 성분 분해는 두 대응 간의 호환성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 Howe 대응이 Lusztig 급수의 구조를 유지하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• Theorem 6.10 에서 명시된 바와 같이, Howe 대응은 부호 변형을 제외한 교환 법칙을 만족하며, 두 사상 간의 정확한 호환 조건을 제공한다.
• Weil 문자 $\omega_{\mathbf{G},\mathbf{G}^\prime,1}$ 의 무일관성 부분은 기호 쌍 $ (\Lambda, \Lambda^\prime) \in \mathcal{B}_{\mathbf{G},\mathbf{G}^\prime} $ 에 대한 합으로 분해되며, 각 항은 무일관성 문자의 텐서곱 $\rho_\Lambda \otimes \rho_{\Lambda^\prime}$ 에 대응한다.
• $\rho \in \mathcal{E}(G)_s$ 와 $\rho^\prime \in \mathcal{E}(G^\prime)_{s^\prime, \epsilon^\prime}$ 에 대해, 쌍 $ (\rho, \rho^\prime) $ 이 Howe 대응에 속하는 것은 다음 조건을 만족할 때이다: $ s^{(0)} = -s^{\prime(0)} $, $ \rho^{(0)} = \rho^{\prime(0)} $, $ G^{(2)} \simeq G^{\prime(1)} $, $ \rho^{(2)} = \rho^{\prime(1)} $, $ (\rho^{(1)}, \rho^{\prime(2)}) $ 는 무일관성 Howe 대응에 속하며, $ \epsilon_\rho = \epsilon^\prime $.
• Howe 대응은 Lusztig 급수의 구조를 유지한다: $ \Theta^\psi_{\mathbf{G}}(\rho^\prime) \subset \mathcal{E}(G)_s $ 와 $ \Theta^\psi_{\mathbf{G}^\prime}(\rho) \subset \mathcal{E}(G^\prime)_{s^\prime, \epsilon^\prime} $ 를 만족하여 문자 급수와의 호환성을 보장한다.
• 수정된 Lusztig 대응 $\Xi_s$ 는 일반 Howe 대응을 무일관성 경우로 성분별로 축소시켜, 기호 매개변수화를 통한 명시적 계산을 가능하게 한다.
• 부호 문자 $\mathrm{sgn}$ 은 Lusztig 대응의 모호성에 기여하며, $\Xi_{s^\prime}^{-1}$ 의 이미지에서 부호 변형 성분의 네 가지 조합은 대응이 성립하기 위해 필수적이고 충분하다.