[논문 리뷰] Lyapunov characterization of uniform exponential stability for nonlinear infinite-dimensional systems

Ihab Haidar, Yacine Chitour외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 17.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 42인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 외부 교란이 존재하는 비선형 무한차원 시스템에서 균일 지수적 안정성에 대한 역리아푸노프 정리들을 수립한다. 전진 완비 시스템으로 일반화된 데이트코 보조정리를 통해, 균일 지수적 안정성이 특정 감쇠 조건을 만족하는 비강한 또는 강한 리아푸노프 함수성과 동치임을 증명함으로써, 지연 시스템, 샘플드 데이터 제어, 스위칭 시스템에 대한 안정성 분석에 엄밀한 이론적 보장을 제공한다.

ABSTRACT

In this paper we deal with infinite-dimensional nonlinear forward complete dynamical systems which are subject to external disturbances. We first extend the well-known Datko lemma to the framework of the considered class of systems. Thanks to this generalization, we provide characterizations of the uniform (with respect to disturbances) local, semi-global, and global exponential stability, through the existence of coercive and non-coercive Lyapunov functionals. The importance of the obtained results is underlined through some applications concerning 1) exponential stability of nonlinear retarded systems with piecewise constant delays, 2) exponential stability preservation under sampling for semilinear control switching systems, and 3) the link between input-to-state stability and exponential stability of semilinear switching systems.

연구 동기 및 목표

• 외부 교란이 존재하는 비선형, 전진 완비, 무한차원 시스템으로 고전적 데이트코 보조정리를 일반화하기.
• 강한 및 비강한 리아푸노프 함수성을 사용하여 균일 지수적 안정성(국소, 준전역, 전역)을 특성화하기.
• 지연 시간, 샘플드 데이터 제어, 스위칭 동역학을 포함한 시스템에서의 안정성 분석을 위한 이론적 기반 제공하기.
• 반선형 스위칭 시스템에서 입력-상태 안정성과 지수적 안정성 사이의 간극 메우기.
• 궤도의 균일 성장 추정이 주어진 조건 하에서 비강한 리아푸노프 함수성이 균일 지수적 안정성에 충분한 조건를 규명하기.

제안 방법

• 이동 불변 교란이 존재하는 무한차원, 전진 완비, 비선형 동역학계로 고전적 데이트코 보조정리를 일반화하기.
• 상태공간 X에서 ℝ₊로의 리아푸노프 함수성 V: X → ℝ₊를 정의하여, 양의 정의성과 궤도를 따라 균일하게 감쇠됨을 보장하기.
• 1-파라미터 리아푸노프 함수성의 가족을 사용하여 균일 준전역 지수적 안정성 특성화하기.
• 해의 균일 성장 조건 하에서, 균일 지수적 안정성과 비강한 리아푸노프 함수성의 존재가 동치임을 증명하기.
• 일반화된 데이트코 보조정리를 적용하여, 비강한 함수성의 감쇠가 균일 지수적 안정성으로 이어짐을 증명하기.
• 그론발의 부등식과 상수의 변형 공식을 사용하여 샘플드 데이터 및 스위칭 시스템에서 궤도의 편차 추정하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한차원 비선형 시스템에서 균일 지수적 안정성이 비강한 리아푸노프 함수성의 존재와 동치가 되는 조건는 무엇인가?
• RQ2 고전적 데이트코 보조정리는 비선형, 무한차원, 전진 완비 시스템으로 확장될 수 있는가?
• RQ3 리아푸노프 함수성을 어떻게 사용하여 반선형 스위칭 시스템에서 샘플링 하에서도 지수적 안정성을 유지할 수 있는가?
• RQ4 반선형 스위칭 시스템에서 입력-상태 안정성과 지수적 안정성 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 균일 성장 한계 하에서 비강한 리아푸노프 함수성의 존재가 전역 지수적 안정성을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 균일 준전역 지수적 안정성은 각각 유계 집합에서 균일하게 감쇠되는 1-파라미터 리아푸노프 함수성의 가족이 존재함으로써 특성화되며, 이러한 집합들의 합집합이 전체 상태공간을 덮는다.
• 비강한 리아푸노프 함수성의 존재와 해에 대한 균일 성장 추정이 함께 주어지면, 균일 지수적 안정성이 보장된다.
• 조각별로 일정한 지연을 가진 비선형 지연 미분방정식에 대해, 균일 전역 지수적 안정성은 비강한 리아푸노프 함수성의 존재와 동치이다.
• 적절한 샘플링 주기가 충분히 작고, 시스템이 적절한 리아푸노프 함수성을 갖는다면, 반선형 제어 스위칭 시스템에서 샘플링 하에서도 지수적 안정성이 유지된다.
• 강한 리아푸노프 함수성이 존재하는 것은 시스템이 균일 지수적으로 안정할 때에만 가능하며, 이는 이전 결과를 지수적 경우로 일반화한 것이다.
• p ∈ [1, ∞)에 대해, 상태 궤도의 Lp-노름은 입력의 Lp-노름의 상수배로 유계이며, 이 상수는 리아푸노프 함수성의 리프시츠 상수와 시스템 매개변수에 의존한다.