[논문 리뷰] Lyapunov coefficients for Hopf bifurcations in systems with piecewise smooth nonlinearity

Miriam Steinherr Zazo, Jens D. M. Rademacher|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 12.

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems참고 문헌 17인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 조각별로 미분 가능하지 않은 비선형성을 갖는 비스무스 동역계 시스템에서 첫 번째 리아프노프 계수에 대한 명시적 공식을 유도하며, 특히 $ u_i|u_j| $ 형태의 비선형성에 대해 고전적인 호프 분기 이론을 일반화한다. 평면계에서 평균화 이론을 이용해 정규형을 수립하고, 분기 시 유일한 주기 궤도 분지가 존재함을 증명하며, 비스무스성에도 불구하고 $ \sigma\# $ 계수가 초위상성 또는 위상성을 결정함을 보인다. 이 이론은 선박 조종성 및 스키밍 휠 모델 등에 적용 가능하다.

ABSTRACT

Motivated by models that arise in controlled ship maneuvering, we analyze Hopf bifurcations in systems with piecewise smooth nonlinear part. In particular, we derive explicit formulas for the generalization of the first Lyapunov coefficient to this setting. This generically determines the direction of branching (super- versus sub-criticality), but in general this differs from any fixed smoothing of the vector field. We focus on nonsmooth nonlinearities of the form $u_i|u_j|$, but our results are formulated in broader generality for systems in any dimension with piecewise smooth nonlinear part. In addition, we discuss some codimension-one degeneracies and apply the results to a model of a shimmying wheel.

연구 동기 및 목표

• 조각별로 미분 가능하고 $ u_i|u_j| $ 형태의 비선형성을 갖는 시스템에 대해 고전적인 첫 번째 리아프노프 계수를 일반화함.
• 표준 공식이 실패하는 비스무스성의 부재에서 호프 분기의 방향(초위상성 대 비위상성)을 결정함.
• 립시츠 연속성과 조각별로 미분 가능한 비선형성을 갖는 평면계 및 고차원계에 대한 정규형 이론을 개발함.
• 특수한 비정상성(예: $ \sigma\# = 0 $)과 추가 비정상 모드를 포함한 시스템으로의 결과 확장.
• 스키밍 휠의 구체적 모델에 이론을 적용하고 수치적 연속 기법을 통해 결과를 검증함.

제안 방법

• 선형 부분이 $ A(\mu)u $이고, 스위칭 표면을 제외한 영역에서 리프시츠 연속성과 $ C^2 $ 조건을 만족하는 조각별로 미분 가능한 비선형 항 $ G(u) $를 갖는 일반적인 $ n $차원 ODE 시스템을 수립함.
• 주기 경계값 문제에 대해 리아프노프-슐라이프 감소 기법을 적용하여 축소된 분기 방정식을 도출함(이를 '직접 방법'이라 함).
• 평면계에서 평균화 이론을 적용하여 $ p_+ = -p_- = 1 $인 경우에 대해 압축된 정규형을 도출함으로써 $ \sigma\# $ 및 두 번째 리아프노프 계수 $ \sigma_2 $의 명시적 표현을 얻음.
• 시스템 매개변수와 $ [0, 2\pi] $에서의 적분을 포함한 첫 번째 리아프노프 계수 $ \sigma\# $에 대한 적분 공식을 유도하며, 삼각함수 대칭성과 테일러 전개를 통해 명시적 평가를 수행함.
• 세 개의 허수 고유값(영, 복소수 쌍)을 갖는 경우를 고려하고, 특정 계수 조합이 0이 아니면 주기 궤도가 두 개의 곡선으로 분기됨을 증명함.
• 벡터장의 테일러 전개로부터 유도된 ODE를 통해 계수 $ \gamma_{ij}, \delta_{ij} $의 세밀한 기호 계산을 수행하며, 분기점 근처에서 $ \mu $에 대한 점근 전개를 수행함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형성이 두 번 미분 가능하지 않은 $ u_i|u_j| $ 형태의 조각별로 미분 가능한 비선형성을 갖는 시스템에 대해 첫 번째 리아프노프 계수를 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 표준적인 스무스 분기 이론이 적용되지 않는 비스무스 시스템에서 호프 분기의 방향(초위상성 대 비위상성)은 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ3 비스무스 항과 스무스 2차 및 3차 항이 $ \sigma\# = 0 $일 때 분기의 임계성을 결정하는 데 어떻게 상호작용하는가?
• RQ4 선형화가 삼중 허수 고유값을 갖는 경우(영, 복소수 쌍), 분기 시 구조는 어떻게 변화하며, 분기하는 주기 궤도의 수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 조각별로 미분 가능한 비선형성을 갖는 평면계에 대해, 호프 분기 근처의 역학을 명시적이고 계산 가능한 계수로 포괄하는 정규형을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 첫 번째 리아프노프 계수 $ \sigma\# $ 는 $ \sigma\# = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \chi_2(\phi) \, d\phi $ 로 유도되며, 명시적 평가 결과 $ \int_0^{2\pi} \chi_2(\phi) \, d\phi = \frac{4}{3} \sigma\# $ 이 되며, 여기서 $ \chi_2 $ 는 스무스 및 비스무스 항을 조합한 것임.
• $ p_+ = -p_- = 1 $ 인 평면계에서 첫 번째 리아프노프 계수는 $ \sigma\# = \frac{1}{3} (a_{11} + b_{22}) + \frac{1}{6} (a_{21} + b_{12}) $ 로 주어지며, $ a_{ij}, b_{ij} $ 는 비선형 항 $ f, g $ 에서 유래하며, $ \sigma\# $ 의 부호가 분기 방향을 결정함.
• $ \sigma\# = 0 $ 인 경우 두 번째 리아프노프 계수 $ \sigma_2 $ 가 임계적이며, $ \sigma_2 = \frac{1}{4} \int_0^{2\pi} \chi_3(\phi) \, d\phi - \frac{1}{4} \int_0^{2\pi} \chi_2(\phi) \Omega_1(\phi) \, d\phi $ 로 주어지며, 여기서 $ \Omega_1 $ 은 비스무스 부분에서 기인함.
• 세 개의 허수 고유값(영, 복소수 쌍)을 갖는 경우, 특정 계수 조합이 0이 아니면 두 개의 주기 궤도 곡선이 분기하며, 否는 주기 궤도가 발생하지 않음.
• 평면계의 정규형은 평균화 이론을 통해 유도되며, 반경 성분에 대해 압축된 표현을 제공함: $ \dot{u} = \mu u + \sigma\# u|u| $, 여기서 $ \sigma\# $ 는 시스템 매개변수로부터 명시적으로 계산 가능함.
• 모델 (1.5)–(1.6)의 수치적 연속 기법을 통해 이론적 예측을 확인함: $ \sigma\# > 0 $ 이면 비위상성 분기(불안정 주기 궤도), $ \sigma\# < 0 $ 이면 초위상성(안정 주기 궤도)이며, 그림 2의 이론적 분기도와 일치함.