[논문 리뷰] Lyapunov dimension formula of attractors in the Tigan and Yang systems

Г. А. Леонов, Н. В. Кузнецов외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 06.

Chaos control and synchronization참고 문헌 20인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 Tigan 및 Yang 시스템의 안착점에 대한 리아푸노프 차원의 정확한 공식을 새로운 리아푸노프 함수 기반 접근법을 통해 유도한다. 특정 행렬 변환과 스칼라 함수를 구성함으로써, 리아푸노프 차원을 정확히 계산할 수 있는 매개변수 영역을 확장하였으며, 고전적 혼돈 매개변수의 경우, 차원이 $ 3 - \frac{2(\sigma + b)}{\sigma + \sqrt{\sigma^2 + 4\sigma r}} $로 정확히 일치함을 증명하였다. 이는 자가-excited 안착점에 대한 정확한 차원성을 확인한다.

ABSTRACT

In latter days the technique of attractors dimension estimate of Lorenz type systems is actively developed. In this work the Lyapunov dimension of attractors of the Tigan and Yang systems is estimated.

연구 동기 및 목표

• Yang 및 Tigan 시스템의 안착점에 대한 리아푸노프 차원을 엄밀하게 추정할 수 있는 매개변수 영역을 확장하는 것.
• 특정 조건 하에서 이러한 시스템의 불변 컴act 집합에 대한 리아푸노프 차원의 정확한 공식을 도출하는 것.
• 고전적 혼돈 매개변수에 대해 정확한 차원 공식을 검증하고, Yang 및 Tigan 시스템의 자가-excited 안착점에 대한 혼돈 차원을 확인하는 것.
• 유계 해가 평형점으로 수렴하는 조건을 설정하여 리아푸노프 차원이 0이 되는 경우를 밝히고, 혼돈 안착점이 존재하는 조건을 규명하는 것.

제안 방법

• 저자는 리아푸노프 차원 이론의 정리 2를 적용하여, 행렬 $ S $ 와 스칼라 함수 $ \vartheta $ 를 사용하여 리아푸노프 함수를 구성함으로써 리아푸노프 지수의 합을 상한으로 제한한다.
• 특정 행렬 $ S = \begin{pmatrix} -\rho^{-1} & 0 & 0 \\ -\frac{b}{\sigma} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $ 를 사용하여 시스템을 변환하고, 야코비안의 대칭 부분의 고유값을 분석한다.
• 리아푸노프 함수 $ \vartheta $ 는 $ \vartheta = \frac{(1-s)V}{\sqrt{\sigma^2 + 4\sigma r}} $ 로 정의되며, 여기서 $ V $ 는 변수 계수 $ \gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4 $ 를 가진 이차형식이다.
• 이 방법은 식 (10)의 이차방정식을 풀어 임계 근 $ \gamma^{(II)} > \gamma^{(I)} $ 를 구함으로써 혼돈 행동에 대한 양의 근이 존재함을 보장한다.
• 부등식 (9)로부터 유도된 상한과 원점에서의 리아푸노프 차원을 비교함으로써 정확한 리아푸노프 차원을 도출하였으며, 조건 (11)을 만족할 경우 등호가 성립함을 확인하였다.
• Tigan 시스템은 스케일링을 통해 Yang 시스템으로 변환되며, 이에 따라 결과를 T-시스템에 직접 적용할 수 있으며, 매개변수 $ \sigma = a, r = c - a, b = b $ 를 갖는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Yang 시스템의 안착점에 대한 리아푸노프 차원이 정확히 계산될 수 있는 매개변수 조건은 무엇인가?
• RQ2 기존 결과를 초월하여 리아푸노프 차원 추정이 성립하는 매개변수 영역을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ3 Yang 시스템의 유계 해가 평형점으로 수렴하는 조건은 무엇이며, 이는 리아푸노프 차원이 0임을 의미하는가?
• RQ4 Yang 및 Tigan 시스템의 고전적 혼돈 매개변수에 대해 리아푸노프 차원 공식이 일관되고 정확한 값을 도출하는가?
• RQ5 리아푸노프 차원 공식은 Tigan 및 Yang 시스템의 자가-excited 안착점에 적용 가능한가?

주요 결과

• 고전적 Yang 시스템 매개변수 $ \sigma = 10, b = \frac{8}{3}, r = 16 $ 에서 리아푸노프 차원은 정확히 $ 3 - \frac{2(\sigma + b)}{\sigma + \sqrt{\sigma^2 + 4\sigma r}} $ 로 계산되며, 조건 (11)을 만족한다.
• $ \sigma = 35, b = 3, r = 35 $ 에서도 공식이 성립하며, 조건 (11)이 만족된다: $ 1225 > 114 $, 식 (10)의 더 큰 근은 양수이다.
• Tigan 시스템에서 $ a = 2.1, b = 0.6, c = 30 $ 인 경우, 변환된 매개변수 $ \sigma = 2.1, r = 27.9 $ 는 모든 조건을 만족하며, 리아푸노프 차원은 약 2.692345984가 된다.
• 모든 고전적 혼돈 매개변수에 대해 식 (10)의 더 큰 근 $ \gamma^{(II)} $ 는 양수이므로, 정확한 차원 공식의 적용 가능성이 확인된다.
• 조건 (11)이 성립할 경우, 원점을 포함하는 임의의 유계 불변 집합 $ K $ 의 리아푸노프 차원은 정확히 $ 3 - \frac{2(\sigma + b)}{\sigma + \sqrt{\sigma^2 + 4\sigma r}} $ 로 일치한다.
• $ r < 0 $ 또는 $ r = 0 $ 이면서 특정 부등식을 만족할 경우, 모든 유계 해는 평형점으로 수렴하며, 이는 $ \dim_L K = 0 $ 를 의미한다. 이는 영차원 케이스에서 리아푸노프 차원 공식과 일관된다.