[논문 리뷰] Lyapunov exponent, universality and phase transition for products of random matrices

Dang-Zheng Liu, Dong Wang외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 30.

Random Matrices and Applications참고 문헌 57인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 i.i.d. 복소 가우시안 랜덤 행렬의 곱에서 특이값의 통계적 행동을 연구한다. 매트릭스 크기 $N$과 행렬의 수 $M$이 모두 무한대에 접근할 때 $M/N \to \gamma \in (0,\infty)$가 되는 조건에서 분석한다. 국소 통계에서 단계 전이를 규명한다: $\gamma = 0$에서 GUE Tracy-Widom 변동성, 유한한 $\gamma$에서 새로운 임계 핵함수, $\gamma = \infty$에서 가우시안 변동성으로 전이되며, 가장 큰 특이값은 GUE와 가우시안 Tracy-Widom 법칙 사이를 전이한다.

ABSTRACT

Products of $M$ i.i.d. random matrices of size $N imes N$ are related to classical limit theorems in probability theory ($N=1$ and large $M$), to Lyapunov exponents in dynamical systems (finite $N$ and large $M$), and to universality in random matrix theory (finite $M$ and large $N$). Under the two different limits of $M o \infty$ and $N o \infty$, the local singular value statistics display Gaussian and random matrix theory universality, respectively. However, it is unclear what happens if both $M$ and $N$ go to infinity. This problem, proposed by Akemann, Burda, Kieburg \cite{Akemann-Burda-Kieburg14} and Deift \cite{Deift17}, lies at the heart of understanding both kinds of universal limits. In the case of complex Gaussian random matrices, we prove that there exists a crossover phenomenon as the relative ratio of $M$ and $N$ changes from $0$ to $\infty$: sine and Airy kernels from the Gaussian Unitary Ensemble (GUE) when $M/N o 0$, Gaussian fluctuation when $M/N o \infty$, and new critical phenomena when $M/N o γ\in (0,\infty)$. Accordingly, we further prove that the largest singular value undergoes a phase transition between the Gaussian and GUE Tracy-Widom distributions.

연구 동기 및 목표

• i.i.d. 랜덤 매트릭스의 곱에서 $M,N \to \infty$ 이면서 $M/N \to \gamma \in (0,\infty)$인 공동 극한의 열린 문제를 해결하기 위해.
• 리아풀로프 지수 통계(큰 $M$, 고정된 $N$)와 랜덤 매트릭스 이론(큰 $N$, 고정된 $M$) 사이의 교차 전이를 이해하기 위해.
• 유한한 $\gamma = M/N$에서 임계 스케일링 영역을 식별하고, 관련된 보편적 핵함수와 분포를 특성화하기 위해.
• 증가하는 $\gamma$에 따라 가장 큰 특이값 분포가 GUE Tracy-Widom에서 가우시안 Tracy-Widom으로 전이되는 단계 전이를 증명하기 위해.

제안 방법

• 직교다항식 기법과 프레드홀름 행렬식 표현을 사용하여 복소 가우시안 매트릭스 곱의 특이값 상관 핵함수를 분석하는 분석적 연구.
• 스테이pest 디센트 방법과 적분 표현을 사용하여 이중 스케일링 극한 $N,M \to \infty$에서 핵함수의 점근적 분석을 수행하며, $M/N \to \gamma \in (0,\infty)$ 조건을 만족한다.
• 부드러운 가장자리 스케일링 근처에서 사인 핵함수와 에일리 핵함수 사이를 보간하는 새로운 임계 핵함수 $K_{\text{crit}}(\xi,\eta;\gamma)$ 유도.
• 프레드홀름 행렬식의 로그 항을 제어하고 임계 스케일링을 도출하기 위해 감마 함수와 딤파 함수 전개를 사용.
• 상관 핵함수의 이중 루프 적분 표현에 대해 스테이pest 디센트 방법을 적용하여, $\mathcal{O}(N^{1/4})$ 영역에서 집중 현상을 보여주는 분석.
• 공동 극한 하에서 상관 핵함수가 임계 핵함수 $K_{\text{crit}}$로 수렴함을 확립하며, 오차 한계는 $\mathcal{O}(N^{-1/4})$ 수준이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 i.i.d. 복소 가우시안 매트릭스 곱에서 $M,N \to \infty$ 이면서 $M/N \to \gamma \in (0,\infty)$일 때 어떤 보편적 통계가 나타나는가?
• RQ2 증가하는 $\gamma$에 따라 국소 특이값 통계가 $\gamma$가 0에서 $\infty$로 증가함에 따라 GUE에서 가우시안 보편성으로 전이되는 방식은 어떻게 되는가?
• RQ3 유한한 $\gamma$에서의 임계 통계의 성격은 무엇이며, 새로운 보편적 핵함수로 기술될 수 있는가?
• RQ4 가장 큰 특이값은 GUE와 가우시안 Tracy-Widom 분포 사이에서 단계 전이를 겪는가?
• RQ5 임계 분포 함수 $F_{\text{crit}}(x;\gamma)$는 피아노레형 방정식으로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• $M/N \to 0$일 때, 국소 특이값 통계는 가우시안 유니터리 군(GUE)의 사인 핵함수로 수렴하며, GUE 보편성을 나타낸다.
• $M/N \to \infty$일 때, 국소 통계는 가우시안 변동성으로 수렴하며, 고전적인 중심극한정리 영역에 해당한다.
• $M/N \to \gamma \in (0,\infty)$일 때, 새로운 임계 핵함수 $K_{\text{crit}}(\xi,\eta;\gamma)$가 나타나며, 이는 사인 핵함수와 에일리 핵함수 사이를 보간하고 새로운 보편성 클래스를 기술한다.
• 가장 큰 특이값은 단계 전이를 겪는다: $\gamma$가 0에서 $\infty$로 증가함에 따라 분포가 GUE Tracy-Widom에서 가우시안 Tracy-Widom으로 전이된다.
• 임계 핵함수는 상관 핵함수의 이중 루프 적분 표현의 점근적 분석을 통해 도출되었으며, 수렴 속도 $\mathcal{O}(N^{-1/4})$ 수준에서 증명되었다.
• 임계 분포 함수 $F_{\text{crit}}(x;\gamma)$는 임계 핵함수의 프레드홀름 행렬식으로 식별되었으며, 그 피아노레형 표현은 여전히 열린 문제이다.