[논문 리뷰] Lyapunov exponents and bifurcation current for polynomial-like maps

Ngoc-mai Pham|ArXiv.org|2005. 12. 24.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 13인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 복소다양체 위에서 정의된 다항지향 사상의 가람에서 가장 큰 리아풀로프 지수의 부분합이 매개수에 대해 복소다양체의 복소다양체 함수임을 증명한다. 이는 총 리아풀로프 지수 합의 dd^c로 분기 전류를 정의하고, 분기 국소를 이러한 전류의 지지집합으로 식별함으로써 복소다이나믹스에서 매개수 공간의 불안정성에 대한 역학기하학적 특성화를 제공한다.

ABSTRACT

We study holomorphic families of polynomial-like maps depending on a parameter s. We prove that the partial sums of largest Lyapunov exponents are plurisubharmonic functions of s. We also study their continuity and introduce the bifurcation locus as the support of bifurcation currents.

연구 동기 및 목표

• 홀로모르픽 가람에서 다항지향 사상의 리아풀로프 지수의 매개수 의존성 연구.
• 가장 큰 리아풀로프 지수의 부분합이 매개수 s에 대해 복소다양체 함수임을 증명.
• 총 리아풀로프 지수 합의 dd^c로 정의된 분기 전류를 정의하고 분석.
• 분기 국소를 분기 전류의 지지집합으로 특성화.
• 총 리아풀로프 지수 함수 L_k(s)가 연속적이거나 복소다양체 함수일 조건을 조사하여 역학적 안정성 확인.

제안 방법

• 수평 양의 닫힌 전류 이론과 자르기 기법을 사용하여 매개수 공간과 도메인의 곱 위에 전류 R를 구성.
• 자르기 측도 구성 기법을 적용하여 각 매개수 s에 대해 균형 측도 μ_s를 전류 R을 통해 연관.
• dd^c 이론과 복소다양체 함수 이론을 활용하여 함수 L_p(s) = 첫 p개 리아풀로프 지수의 합이 복소다양체 함수임을 증명.
• 총 리아풀로프 지수 L_k(s)가 (1/2)log d_t 이하로 유계임을 이용해 분기 전류 B_F = dd^c L_k의 존재 보장.
• 딘-시본의 균형 측도 및 복소다양체 함수 이론 결과를 적용하여 μ_s에 대해 복소다양체 함수의 적분이 복소다양체 함수임을 증명.
• 고차수 분기 전류 B_F^i와 총 공간 위의 총 분기 전류를 도입하여 안정성 및 분기 현상 연구.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 홀로모르픽 가람에서 다항지향 사상에 대해 가장 큰 p개 리아풀로프 지수의 합이 매개수 s에 대해 복소다양체 함수인가?
• RQ2 매개수 공간에서 전류를 이용해 분기 국소를 기하학적으로 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ3 총 리아풀로프 지수 함수 L_k(s)가 연속적이거나 복소다양체 함수일 조건은 무엇인가?
• RQ4 비판적 집합이 재즈비 집합과 교차하지 않을 경우와 가람의 안정성 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 고차수 분기 전류 B_F^i는 역학적 안정성과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 매개수 s에 대해 1 ≤ p ≤ k 인 경우, 가장 큰 리아풀로프 지수의 부분합 L_p(s) = χ_1(s) + ... + χ_p(s) 는 복소다양체 함수이다.
• 분기 전류 B_F 는 매개수 공간 Λ 위의 양의 닫힌 (1,1)-전류인 dd^c L_k(s) 로 정의된다.
• 분기 국소는 B_F 의 지지집합으로 식별되며, 이는 매개수 값에서 역학적 분기 현상이 발생하는 기하학적 특성화를 제공한다.
• 균형 측도 μ_s 가 PLB(즉, d_s^* < d_t) 이면, L_k(s) 는 s 의 근방에서 연속적이다.
• 비판적 집합 C_s 가 재즈비 집합 J_s 와 교차하지 않으며 μ_s 가 PLB 이면, L_k(s) 는 복소다양체 함수이며 가람은 안정적이며, 이는 분기 국소가 공집합임을 의미한다.
• 고차수 분기 전류 B_F^i = B_F ∧ ... ∧ B_F (i번) 는 잘 정의되어 있으며, 그 지지집합은 분기 국소를 코디멘션에 따라 필터링한다.