[논문 리뷰] Lyapunov exponents and eigenvalues of products of random matrices

Nanda Kishore Reddy|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 24.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한한 모멘트와 유계 밀도를 가지며 i.i.d. 실수 성분을 가진 i.i.d. 랜덤 행렬에 대해, 그 곱의 고유값의 절댓값이 점점 커질수록 특이값과 같은 성장률을 가지며, 변동성이 n에 대해 어떤 다항식보다도 더 빨리 감소함을 보여준다. 핵심 결과는 모든 r > 0 및 1 ≤ p ≤ d에 대해 lim_{n→∞} (1/n^r) log(|λ_p(n)| / σ_p(n)) = 0 거의확실하게 성립함을 보이며, 이는 약간의 모멘트 및 지지 조건 하에 장기적으로 고유값과 특이값의 리아푸노프 지수들이 일치함을 의미한다.

ABSTRACT

Let $X_1,X_2, \ldots $ be a sequence of $i.i.d$ real (complex) $d imes d $ invertible random matrices with common distribution $μ$ and $σ_1(n), σ_2(n), \ldots , σ_d(n)$ be the singular values, $λ_1(n), λ_2(n), \ldots , λ_d(n)$ be the eigenvalues of $X_nX_{n-1}\cdots X_1$ in the decreasing order of their absolute values for every $n$. It is known that if $\mathbb{E}(\log^{+}\|X_1\|)< \infty$, then with probability one for all $1 \leq p \leq d$, $$ \lim_{n o \infty} \frac{1}{n}\log σ_p(n)=γ_p, $$ where ${γ_1,γ_2 \ldots γ_d}$ are the Lyapunov exponents associated with $μ$. In this paper we show that under certain support and moment conditions on $μ$, the absolute values of eigenvalues also exhibit the same asymptotic behaviour. In fact, a stronger asymptotic relation holds between the singular values and the eigenvalues $i.e.$ for any $r>0$ with probability one for all $1 \leq p \leq d$, $$ \lim_{n o \infty} \frac{1}{n^r}\log \left(\frac{|λ_p(n)|}{σ_p(n)} ight)= 0, $$ which implies that the fluctuations of the eigenvalues have the same asymptotic distribution as that of the corresponding singular values. Isotropic random matrices and also random matrices with $i.i.d$ real elements, which have some finite moment and bounded density whose support contains an open set, are shown to satisfy the moment and support conditions under which the above relations hold.

연구 동기 및 목표

• i.i.d. 랜덤 행렬 곱에서 고유값과 특이값의 성장률 간 渐近적 등가성을 확립하는 것.
• 고유값 리아푸노프 지수와 특이값 지수가 일치하는 최소한의 모멘트 및 지지 조건을 규명하는 것.
• 기존의 진비레 및 등방향 행렬에 대한 결과를 유계 밀도와 유한한 모멘트를 가지는 일반적인 i.i.d. 행렬 집합으로 확장하는 것.
• 외대수 및 스펙트럼 이론을 활용하여 실수 및 복소수 랜덤 행렬에 일반적으로 적용 가능한 증명 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 특이값의 점점 커지는 성장을 특성화하기 위해 외대수를 통한 리아푸노프 지수 이론을 사용한다.
• Fekete의 하중합 렘마와 [3]에서의 랜덤 행렬 이론 결과를 적용하여 정규화된 로그 노름의 거의확실 수렴을 확립한다.
• 행렬 곱의 특이벡터의 집중성에 관한 핵심 보조정리를 활용하여 고유값과 특이값을 연결한다.
• 가장자리가 열린 구간에 속한 성분을 가진 가역 행렬을 이용해 지지 조건을 구성하여 관련 랜덤 행렬 곱의 p-강한 기약성 및 p-수축성을 보장한다.
• ℓ(Y₁) = max(log⁺‖Y₁‖, log⁺‖Y₁⁻¹‖)의 모멘트 생성 함수의 경계를 사용하여, Theorem 22 적용을 위한 지수 모멘트 조건을 검증한다.
• 편미분 기법을 적용하여 행렬의 행렬식이 1이면서 특정 가역 행렬 M₀에 가까운 행렬들의 집합이 측도 μ의 지지에 포함됨을 보여, 필요한 기약성 및 수축성 조건을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 i.i.d. 랜덤 행렬 곱의 고유값 절댓값이 일반적인 모멘트 및 지지 조건 하에 특이값과 같은 성장률을 가지는가?
• RQ2 진비레나 등방향 행렬의 특수 케이스를 초월하여, 유계 밀도와 유한한 모멘트를 가지는 i.i.d. 행렬 집합에 대해 고유값과 특이값 리아푸노프 지수 간의 점점 커지는 등가성이 증명될 수 있는가?
• RQ3 어떤 모멘트 및 지지 조건이 n → ∞일 때 비율 |λ_p(n)| / σ_p(n)의 로그 변동성이 다항식보다 더 빠르게 감소하도록 보장하는가?
• RQ4 이 조건 하에 모든 r > 0에 대해 lim_{n→∞} (1/n^r) log(|λ_p(n)| / σ_p(n)) = 0 거의확실하게 성립하는가?
• RQ5 이러한 이론적 프레임워크를 실수 랜덤 행렬에서 복소수 랜덤 행렬으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• i.i.d. 실수 d×d 랜덤 행렬에 대해, 성분이 유계 밀도와 유한한 모멘트를 가지면, 고유값 |λ_p(n)| 과 특이값 σ_p(n)이 모든 r > 0 및 1 ≤ p ≤ d에 대해 거의확실하게 lim_{n→∞} (1/n^r) log(|λ_p(n)| / σ_p(n)) = 0 를 만족한다.
• 이는 상대 오차가 n에 대해 어떤 다항식보다도 더 빨리 감소하므로, 고유값 리아푸노프 지수 γ_p가 특이값 리아푸노프 지수 γ_p와 일치함을 의미한다.
• 행렬 성분의 분포가 유계 밀도와 순서 τ > 0의 유한한 모멘트를 가지면 성립하며, 이때 sup_a E|ξ - a|^{-τ} < ∞ 이다. (τ < 1일 때)
• 행렬 분포의 지지에는 가역 행렬의 열린 집합이 포함되어 있어, 관련된 랜덤 곱의 p-강한 기약성 및 p-수축성을 보장한다. 이는 리아푸노프 지수 정리에 핵심 조건이다.
• 성분이 유한한 모멘트와 유계 밀도를 가지면, 작은 τ > 0에 대해 E[e^{τℓ(Y₁)}] < ∞ 이므로 지수 모멘트 조건이 만족되어 Theorem 22를 적용할 수 있다.
• 이 프레임워크는 복소수 행렬로도 확장 가능하며, [3]의 핵심 사실들이 그대로 유지되며, 주요 결과도 복소수 케이스에서도 성립한다.