[논문 리뷰] Lyapunov exponents and rigidity of Anosov automorphisms and skew products

Radu Saghin, Jiagang Yang|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 22.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 54인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 선형 Anosov 자기동형사상과 Anosov 미분형사상 위의 스케일 제품에 대해 국소적 강성( rigidity )을 확립한다. 이는 동일한 리아풀로프 지수를 가지며 체적을 보존하는 $ C^1 $-작은 외란이 원래 시스템과 매끄럽게 동형임을 보여줌으로써 이루어진다. 핵심 결과는 기저가 기하학적으로 기하로 분해되지 않으며 실수 고유값이 단순하고 절댓값이 서로 다를 경우, 리아풀로프 지수만으로도 매끄러운 동형이 보장됨을 보여주며, 이는 주기적 자료를 초월한 강성 결과를 확장한다.

ABSTRACT

In this paper we obtain local rigidity results for linear Anosov diffeomorphisms in terms of Lyapunov exponents. More specifically, we show that given an irreducible linear hyperbolic automorphism $L$ with simple real eigenvalues with distinct absolute values, any small perturbation preserving the volume and with the same Lyapunov exponents is smoothly conjugate to $L$. We also obtain rigidity results for skew products over Anosov diffeomorphisms. Given a volume preserving partially hyperbolic skew product diffeomorphism $f_0$ over an Anosov automorphism of the 2-torus, we show that for any volume preserving perturbation $f$ of $f_0$ with the same average stable and unstable Lyapunov exponents, the center foliation is smooth.

연구 동기 및 목표

• 리아풀로프 지수만으로 주기적 자료를 초월한 Anosov 미분형사상에 대해 매끄러운 동형이 성립하는지 여부를 규명하는 것.
• 주기적 자료에서의 국소적 강성 결과를 고차원 Anosov 시스템에서 리아풀로프 지수로 확장하는 것.
• 동일한 리아풀로프 지수를 가지며 체적을 보존하는 Anosov 사상 위의 스케일 제품에 대한 외란이 매끄러운 중심 분할을 유도하는지 조사하는 것.
• 리아풀로프 지수가 불변 분할의 매끄러운 구조를 결정하는 조건을 탐색하는 것.
• 유도된-Anosov 및 고차원 스케일 제품 시스템으로의 강성 결과 확장을 위한 프레임워크 제공

제안 방법

• 기하학적으로 기하로 분해되지 않으며 실수 고유값이 단순하고 절댓값이 서로 다른 선형 Anosov 자기동형사상에서, 리아풀로프 지수의 동일성이 매끄러운 동형의 충분조건임을 적용한다.
• 불변 원리와 줌르의 정규성 정리( Journé's regularity theorem )를 적용하여 불안정 및 안정 분할을 沿한 호로노미 맵의 $ C^{1+ε} $ 정규성을 확립한다.
• 분할선을 따라 호로노미의 균일한 $ C^1 $-유계성과 투영 기법을 활용하여 동형이 균일하게 $ C^{1+ε} $ 임을 보여준다.
• $ C^1 $-근접한 외란이 리아풀로프 지수와 체적을 유지할 경우 중심 분할이 $ C^{1+ε} $ 임을 보이며, 호로노미 정규성의 균일성을 활용한다.
• 리아풀로프 플래그에 대한 귀납적 추론을 적용하고 분할의 최소성 조건을 활용하여 비자명한 호로노미 왜곡을 배제한다.
• 유니버설 커버의 구조와 선형 사상의 작용을 이용하여 비자명한 호로노미가 모순됨을 증명함으로써 동형이 성립함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 Anosov 자기동형사상의 $ C^1 $-작은 체적 보존 외란에서 리아풀로프 지수만으로도 매끄러운 동형이 성립하는가?
• RQ2 스케일 제품의 Anosov 미분형사상 위에서 리아풀로프 지수의 동일성이 중심 분할의 $ C^{1+ε} $ 정규성을 유도하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 매끄러운 동형 결과는 중심 분할이 균일하게 팽창하지 않는 유도된-Anosov 사상으로까지 확장 가능한가?
• RQ4 단순 실수 고유값과 서로 다른 절댓값을 가지는 고차원 Anosov 기저 사상으로의 강성 결과를 일반화할 수 있는가?
• RQ5 리아풀로프 지수와 체적의 보존이 외란된 시스템이 기저 Anosov 사상 위의 진짜 스케일 제품과 매끄럽게 동형임을 의미하는가?

주요 결과

• 기하학적으로 기하로 분해되지 않으며 단순 실수 고유값과 서로 다른 절댓값을 가지는 선형 Anosov 자기동형사상 $ L $ 에 대해, 동일한 리아풀로프 지수를 가지며 체적을 보존하는 $ C^1 $-작은 외란은 항상 $ L $ 과 매끄럽게 동형이다.
• Anosov 자기동형사상 위의 스케일 제품에 대한 체적을 보존하는 $ C^1 $-작은 외란에서, 평균 안정 및 불안정 리아풀로프 지수가 기저 사상의 지수와 일치할 경우 중심 분할은 $ C^{1+ε} $ 임을 보였다.
• 외란 시스템과 선형 모델 간의 동형은 Journé의 정규성 정리를 호로노미 맵에 적용하여 균일하게 $ C^{1+ε} $ 임을 증명하였다.
• 외란 시스템의 불안정 분할을 선형 모델에 투영한 결과, 분할선 위에서 균일한 $ C^{1+ε} $ 미분동형사상이 되었으며, 이는 동형의 정규성을 보장한다.
• 호로노미 왜곡에 의한 모순을 통한 증명에 기반한다: 비자명한 호로노미는 선형 사상 $ L $ 에 대한 불변성을 위반하므로, 호로노미는 자명해야 하며 따라서 동형은 매끄럽다.
• 동일한 스펙트럼 및 체적 조건 하에서 고차원 토러스 위의 스케일 제품으로도 결과가 확장되며, 리아풀로프 기반 강성의 일반적 프레임워크를 시사한다.