[논문 리뷰] Lyapunov Exponents of Brownian Motion: Decay Rates for Scaled Poissonian Potentials and Bounds

Johannes Rueß|arXiv (Cornell University)|2011. 01. 18.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 강도와 잠재력 너비를 조절할 때 퇴색하는 스케일링된 포아송 잠재력 내에서 브라운 운동의 억제된 및 안내된 리아푸노프 지수의 붕괴 비율을 조사한다. 강도와 잠재력의 $L^1$-노름의 곱이 $D/n$ 비율로 스케일링될 때, 두 지수 모두 $cn^{-1/2}$ 비율로 붕괴되며, 명시적인 상수 $c$를 제공하고, 평균 잠재력에 대해 억제된 지수는 안내된 지수에 의해 상한으로 제한됨을 증명한다.

ABSTRACT

We investigate Lyapunov exponents of Brownian motion in a nonnegative Poissonian potential $V$. The Lyapunov exponent depends on the potential $V$ and our interest lies in the decay rate of the Lyapunov exponent if the potential $V$ tends to zero. In our model the random potential $V$ is generated by locating at each point of a Poisson point process with intensity $ν$ a bounded compactly supported nonnegative function $W$. We show that for sequences of potentials $V_n$ for which $ν_n \|W_n\|_1 \sim D/n$ for some constant $D > 0$ ($n o \infty$), the decay rates to zero of the quenched and annealed Lyapunov exponents coincide and equal $c n^{-1/2}$ where the constant $c$ is computed explicitly. Further we are able to estimate the quenched Lyapunov exponent norm from above by the corresponding norm for the averaged potential.

연구 동기 및 목표

• 포아송 잠재력이 0으로 수렴함에 따라 억제된 및 안내된 리아푸노프 지수의 점근적 행동을 분석하기 위해.
• 강도와 잠재력의 $L^1$-노름의 곱이 $\nu_n\|W_n\|_1 \sim D/n$ 비율로 스케일링될 조건 하에서 이러한 지수의 정확한 붕괴 비율을 규명하기 위해.
• 억제된 및 안내된 리아푸노프 지수 사이의 비교를 수립하여, 평균 잠재력에 대해 억제된 노름이 안내된 노름에 의해 상한으로 제한됨을 증명하기 위해.
• 이전의 이산적인 랜덤 워크 결과를 연속적인 브라운 운동으로 확장하고 스케일링 극한에서의 결과를 정밀화하기 위해.

제안 방법

• 생존 확률의 로그 점근적 행동을 통해 억제된 및 안내된 리아푸노프 지수를 정의하기 위해 그린 함수 $g_\eta(x,y,\omega)$ 와 그 $L^1$-평균형태인 $\mathbb{E}[g_\eta(0,ny,\omega)]$ 를 사용한다.
• 억제된 리아푸노프 지수 $\alpha_{\eta+V}(y)$ 는 극한 $\lim_{n\to\infty} -\frac{1}{n}\ln g_\eta(0,ny,\omega)$ 로 정의되며, 안내된 지수 $\beta_{\eta+V}(y)$ 는 $\lim_{n\to\infty} -\frac{1}{n}\ln \mathbb{E}[g_\eta(0,ny,\omega)]$ 로 정의된다.
• 핵심 기술적 도구로는 그린 함수의 붕괴를 제어하고 리아푸노프 지수에 대한 경계를 유도하는 데 사용되는 콰즈-토머스 추정이 있다.
• 증명은 대규모 탈진 추정과 브라운 운동의 경로 기반 분석에 기반하며, 특히 지역 시간 과정의 스케일링을 통해 공역 시간이 큰 확률을 상한으로 제한하는 데 중점을 둔다.
• 회전 대칭성과 커플링 추론을 사용하여 문제를 일차원 브라운 운동으로 단순화하고, 체류 시간에 대한 명시적 尾 확률 추정을 가능하게 한다.
• 생존 확률 $e(ny,\eta+V)$ 를 분석하고 지수 모멘트 경계를 사용함으로써 $n^{-1/2}$ 스케일링이 도출된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 강도와 잠재력의 $L^1$-노름의 곱이 $\nu_n\|W_n\|_1 \sim D/n$ 비율로 스케일링될 때, 포아송 잠재력이 소멸함에 따라 억제된 리아푸노프 지수의 붕괴 비율은 무엇인가?
• RQ2 소멸 잠재력 극한에서 억제된 및 안내된 리아푸노프 지수는 동일한 비율로 붕괴되는가?
• RQ3 평균 잠재력에 대해 억제된 리아푸노프 지수는 안내된 지수에 의해 상한으로 제한될 수 있는가?
• RQ4 그린 함수의 점근적 행동은 죽는 환경 내에서 브라운 운동의 생존 확률과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 강도와 잠재력의 $L^1$-노름의 곱이 $\nu_n\|W_n\|_1 \sim D/n$ 인 잠재력의 수열에 대해, 억제된 및 안내된 리아푸노프 지수는 $cn^{-1/2}$ 비율로 붕괴되며, 상수 $c = \sqrt{2D}$ 이다.
• 지정된 스케일링 조건 하에서 억제된 및 안내된 리아푸노프 지수의 붕괴 비율은 일치한다.
• 평균 잠재력에 대해 억제된 리아푸노프 지수의 노름은 해당 안내된 지수의 노름에 의해 상한으로 제한되며, 즉 $\alpha_{\eta+V}(y) \leq \beta_{\eta+V}(y)$ 이다.
• 반지름 $\xi$ 인 구 안에서의 큰 지역 시간 확률은 $n \to \infty$ 일 때 0으로 수렴하며, 이는 붕괴 비율을 증명하는 데 필수적이다.
• 리아푸노프 지수의 수렴은 거의 확실히 및 $L^1(\mathbb{P})$ 에서 성립하여 점근적 결과의 강건성을 보장한다.
• 이전의 랜덤 워크 연구를 연속적인 브라운 운동으로 확장하여 스케일링 극한에서 날카로운 $n^{-1/2}$ 붕괴 비율을 제공한다.