[논문 리뷰] Lyapunov exponents of probability distributions with non-compact support

Adriana Cristina Sánchez Chavarría, Marcelo Viana|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 06.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $GL(2,\mathbb{R})$에서 컴팩트하지 않은 지지집합을 가진 확률분포에 대해 리아푸노프 지수의 연속성 성질을 조사한다. 상단 리아푸노프 지수는 워샤르-위상에서 상부 반연속성이지만 약한* 위상에서는 그렇지 않음을 입증하며, 워샤르-위상에서도 연속성이 성립하지 않음을 보이며, 제어 가능한 성장률을 가진 행렬 곱의 변형을 통한 반례를 제시한다.

ABSTRACT

We prove that the Lyapunov exponents, cosidered as functions of measures with non compact support, are semicontinuous with respect to the Wasserstein topology but not with respect to the weak* topology. Moreover, we prove that they are not continuous in the Wasserstein topology.

연구 동기 및 목표

• 컴팩트 지지집합을 가진 분포를 초월하여 리아푸노프 지수 연속성에 대한 이해를 확장하는 것.
• 특히 그 연속성 성질을 고려할 때, 비콤팩트 지지집합에서 리아푸노프 지수의 행동을 분석하는 것.
• 워샤르-위상과 약한* 위상에서 리아푸노프 지수 수렴 행동을 비교하는 것.
• 워샤르-위상에서의 불연속성을 보여주는 명시적 반례를 구성하는 것.

제안 방법

• 유한한 첫 번째 모멘트를 가진 측도에 대해 워샤르-위상을 사용하여 분포 수렴을 분석한다.
• 행렬 노름 성장률의 거의확실한 극한으로서 리아푸노프 지수를 정의하기 위해 푸르스텐베르크-케스텐 정리를 적용한다.
• 제어된 $L^1$-거리와 함께 대각 결합을 사용하여 $q_n$이 워샤르-거리에서 $q$로 수렴하는 측도의 수열을 구성한다.
• 성장률이 제어 가능한 펌터베이션을 통해 시프트 행렬을 사용하여, 작은 워샤르-거리에도 불구하고 상단 리아푸노프 지수가 0으로 떨어지는 시스템을 만든다.
• 보커-비아나의 첫 번째 복귀 맵 추론을 활용하여 $\lambda_+(B, q_n) = 0$이 모든 $n$에 대해 성립하고, $\lambda_+(B, q) > 0$임을 보인다.
• 코어시클의 작용을 확인하기 위해 불변 부분공간 $H_x = \mathbb{R}(1,0)$ 및 $V_x = \mathbb{R}(0,1)$에서의 동역학을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 GL(2,\mathbb{R})에서 비콤팩트 지지집합을 가진 분포에 대해 상단 리아푸노프 지수는 워샤르-위상에서 상부 반연속성을 가지는가?
• RQ2 비콤팩트 케이스에서 약한* 위상은 리아푸노프 지수의 반연속성을 유지하는가?
• RQ3 지지집합이 비콤팩트할 경우 워샤르-위상에서도 리아푸노프 지수의 연속성이 실패할 수 있는가?
• RQ4 워샤르-수렴 하에서 리아푸노프 지수의 불연속성을 초래하는 행렬 곱의 구조적 조건은 무엇인가?
• RQ5 작은 워샤르-거리의 측도 변화가 리아푸노프 지수를 근본적으로 변화시킬 수 있는가?

주요 결과

• 상단 리아푸노프 지수 $\lambda_+(p)$는 워샤르-위상에서 상부 반연속성이다.
• 하단 리아푸노프 지수 $\lambda_-(p)$는 워샤르-위상에서 하부 반연속성이다.
• 제시된 반례를 통해 워샤르-위상에서도 리아푸노프 지수는 연속적이지 않음을 입증하였다.
• 반례는 $q_n$이 워샤르-거리에서 $q$로 수렴하지만, 모든 $n$에 대해 $\lambda_+(B, q_n) = 0$ 이고 $\lambda_+(B, q) = 2p_3\log 2 > 0$ 임을 보여준다.
• 불연속성은 워샤르-거리에서의 $L^1$-거리 유지와는 별개로 행렬 노름의 점근적 성장률을 변화시키는 행렬 곱의 펌터베이션으로 인해 발생한다.
• 이 구성은 $W(q_n, q) \leq 2n^{-l}$ ($l = \min\{\gamma, 1-\gamma\} > 0$)를 만족하는 대각 결합에 의존하여 워샤르-거리 수렴을 보장한다.