[논문 리뷰] Lyapunov exponents, shape theorems and large deviations for the random walk in random potential

Jean Christophe Mourrat|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 20.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 19인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 $d \geq 2$ 인 $\mathbb{Z}^d$ 위에서 i.i.d. 랜덤 포텐셜에 대한 단순 랜덤 워크에 대해 냉각된 리아푸노프 지수와 형태 정리의 존재에 최적 조건을 설정한다. $\mathbb{E}[Z(0)] < \infty$ 조건 하에서 점에서 점으로 향하는 지수의 거의확실 수렴을 증명하며, 유한 포텐셜 지점들의 집합이 퍼지면 형태 정리가 성립함을 보인다. 이 결과들은 [CD81] 기반의 재규격화 및 근사 전략을 통해 대칭성 원리 및 제1도달 시간 퍼지기로 확장된다.

ABSTRACT

We consider the simple random walk on Z^d evolving in a potential of independent and identically distributed random variables taking values in [0, + \\infty]. We give optimal conditions for the existence of the quenched point-to-point Lyapunov exponent, and for different versions of a shape theorem. The method of proof applies as well to first-passage percolation, and builds up on an approach of Cox and Durrett (1981). The weakest form of shape theorem holds whenever the set of sites with finite potential percolates. Under this condition, we then show the existence of the quenched point-to-hyperplane Lyapunov exponent, and give a large deviation principle for the walk under the quenched weighted measure.

연구 동기 및 목표

• 냉각된 점에서 점으로 향하는 리아푸노프 지수의 존재에 대해 가장 약한 모멘트 조건 및 퍼지기 조건을 규명하는 것.
• 냉각된 설정에서 다양한 형태 정리의 형태에 대해 필수적이고 충분한 조건을 설정하는 것.
• 냉각된 가중 측도 하에서 랜덤 워크에 대해 대칭성 원리를 유도하는 것.
• 경로 기반의 통과 시간에 대해 방법을 적응하여 제1도달 시간 퍼지기로 결과를 확장하는 것.
• 포텐셜 구조에서 유도된 한계 노름을 기반으로 랜덤 워크의 점근적 행동을 특성화하는 것.

제안 방법

• 냉각된 경로의 비용을 근사하기 위해 재규격화 구조를 사용하여 이산적 근사 $\hat{a}(x,y)$ 를 정의한다. 이는 한 지점의 이웃 영역 경계에서 다른 지점까지의 최소 비용을 측정한다.
• 근사 비용 함수 $\hat{a}(x,y)$ 에 하향적 에르고딕 정리 적용을 통해 적분 가능성 조건 하에서 $\frac{1}{n}a(0,nx)$ 의 수렴을 확립한다.
• 특히 $\mathbb{E}[V(0)] = \infty$ 인 경우를 다루기 위해 두 번째 근사 $\tilde{a}(x,y)$ 를 도입하며, 이는 유한 포텐셜 지점들의 큰 연결 성분 $\mathbf{C}_\infty$ 가 존재함을 전제로 한다.
• 경로의 전반적 비용에 희귀한 고포텐셜 지점의 영향을 통제하기 위해 윤곽선 유형의 추론과 퍼지기 추정을 활용한다.
• 로그 모멘트 생성 함수 분석과 쌍대 노름 $\alpha_\lambda$ 를 포함하는 변분 공식을 사용하여 대칭성 원리의 유도를 수행한다.
• 경로 기반의 통과 시간으로 $a(x,y)$ 를 재정의함으로써 제1도달 시간 퍼지기로 방법을 적응시키며, 영온도 근사에서 유사한 결과를 회복한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 냉각된 점에서 점으로 향하는 리아푸노프 지수 $\frac{1}{n}a(0,nx)$ 가 거의확실하게 수렴하는 최소 조건은 무엇인가?
• RQ2 랜덤 포텐셜 상에서 랜덤 워크에 대해 형태 정리가 성립하는 조건은 무엇이며, 유한 포텐셜 지점들의 퍼지기 역할은 무엇인가?
• RQ3 냉각된 측도 하에서 정확한 대칭성 원리의 비용 함수는 무엇이며, 리아푸노프 지수의 쌍대 노름과의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ4 경로 기반의 통과 시간을 고려한 제1도달 시간 퍼지기로 결과는 어떻게 확장되는가?
• RQ5 리아푸노프 지수는 $\mathbb{R}^d$ 상의 노름으로 확장될 수 있으며, 언제 이를 만족하는가?

주요 결과

• 냉각된 점에서 점으로 향하는 리아푸노프 지수 $\frac{1}{n}a(0,nx)$ 는 $\mathbb{E}[Z(0)] < \infty$ 이며, 여기서 $Z(0) = \min_{y \sim 0} V(y)$ 인 경우에만 거의확실하게 수렴한다.
• 지수 $\frac{1}{n}a(0,nx)$ 는 $\mathbb{E}[V(0)] < \infty$ 이면 $L^1$ 수렴을 보이며, $V(0) < \infty$ 거의확실하게 성립할 때에만 확률 수렴을 보인다.
• 만약 $\mathbb{P}[V(0) < \infty] > p_c$ 이면, 한계값 $\alpha(x)$ 는 $\mathbb{R}^d$ 상의 노름이 된다.
• 형태 정리가 거의확실하게 성립하는 것은 포텐셜이 유한한 지점들의 집합이 퍼지기 할 때에만 성립하며, 즉 $\mathbb{P}[V(0) < \infty] > p_c$ 이다.
• 동일한 퍼지기 조건 하에서 냉각된 점에서 초평면으로 향하는 리아푸노프 지수는 존재하며, 그 값은 $\alpha(x)$ 와 같다.
• 냉각된 가중 측도 하에서 대칭성 원리가 성립하며, 비용 함수 $I(x)$ 는 쌍대 노름 $\alpha_\lambda$ 를 포함하는 변분 공식으로 주어진다.